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Als ich noch zur Schule ging, war die Welt noch in Ordnung. Die Mathematik war eine exakte Naturwissenschaft.

Auch heute noch verläßt sich alle Welt auf die exakten Voraussagen mathematischer Modelle; allen voran die Wirtschaft.

Aber exakte Voraussagen, die sind selbst in der Mathematik mehr als schwierig, vor allem, wenn es bei gegebenem Radius um den Umfang eines Kreises geht:

Procrustes und die Mathematik

– Das Märchen von der „exakten“ Naturwissenschaft –

Wer war Procrustes? – das werden sich die mit antiker Mythologie wenig vertrauten Leser fragen, – allerdings wird jeder Leser zunächst einmal darüber nachdenken, was die Hauptfigur einer griechischen Sage mit Mathematik zu tun haben mag:

 Procrustes ist eine Sagengestalt von besonderer Hinterhältigkeit und Brutalität. Er betrieb eine Herberge und bot vorüberziehenden Wanderern ein Nachtlager an. Der Gast bekam jeweils ein unpassendes Bett; der hochgewachsene bekam ein Bett, das zu kurz war, der kleinwüchsige eines, das zu lang war. In der Nacht kam Procrustes und tötete seine Gäste, indem er sie der Größe des Bettes anpaßte: die kleinen wurden gestreckt, bis sie lang genug waren, das Bett auszufüllen, den anderen kappte Procrustes die überstehenden Gliedmaßen. – Der moderne Mensch verfährt mit der Natur und auch mit seinen Mitmenschen häufig in ähnlicher Weise, was vermuten läßt, daß Mythen oft ewige Wahrheiten in sich bergen.

 Sollte der Mensch, und dieser Frage wird im folgenden nachgegangen werden, am Ende auch die Mathematik prokrustiert haben?

 Benoît B. Mandelbrot stellte im Jahre 1975 seine Idee von der „fraktalen Geometrie der Natur“ einer interessierten Öffentlichkeit vor. Er prägte das Kunstwort „Fraktal“1 zur Beschreibung von natürlich auftretenden Formen und Prozessen, die mit Hilfe der bekannten geometrischen Modelle bis dahin nicht beschrieben werden konnten. Er bewies anhand vieler Beispiele, daß sogenannte „Monsterkurven“ und ähnliche „pathologische“ Objekte, die einige Mathematiker Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts untersucht hatten, sich hervorragend eigneten, natürliche Formen wie Bäume, Lungengewebe, Federn, Felsen, Wolken oder Galaxien zu beschreiben. – All diese durchaus geometrisch anmutenden Objekte entziehen sich einer exakten Definition im Rahmen der klassischen, euklidschen Geometrie.

 Erzeugt werden mathematische Fraktale durch sogenannte Iteration. Das bedeutet die ständige Wiederholung einer Rechenoperation, wobei der Endwert der ersten Operation den Anfangswert der zweiten bildet, dessen Endwert wiederum ist der Anfangswert der dritten, und so weiter und so fort…

 Wesentliches Kennzeichen eines Fraktalen Objekts ist dessen Selbstähnlichkeit auf allen Größenskalen. Bricht man aus einem Blumenkohl ein Röschen heraus und betrachtet es etwas genauer, stellt man verblüfft fest, daß es dem ganzen Kohlkopf sehr ähnlich sieht – kleiner zwar, aber von ähnlicher Gestalt. Bricht man aus diesem ein weiteres Röschen heraus, bleibt die Ähnlichkeit zum ersten Röschen und zur Gesamtgestalt des Blumenkohls ebenfalls erhalten. Die Natur setzt diesem Verfahren beim Blumenkohl freilich eine untere Grenze; das aber ändert nicht den Grundsatz.

 Trotz derartiger alltäglicher Erfahrungswerte bleibt das Wesen der fraktalen Geometrie bis heute der breiten Öffentlichkeit verborgen; u.a. deshalb, weil die überwiegende Mehrzahl der Mathematiker und Physiker die Auseinandersetzung mit der fraktalen Geometrie und den nichtlinearen Phänomenen der Natur scheut. In den Lehrplänen der Schulen, aber auch in den Vorlesungsverzeichnissen vieler Hochschulen sucht man diese Themen meist vergeblich. Diese Institutionen verkaufen weiterhin den Lehrsatz des Phytagoras und den Satz des Thales als grundlegende Erfindungen menschlichen Geistes, obwohl gerade die tradierten Gesetze der Geometrie die Vermutung nahelegen, daß auch das rechtwinklige Dreieck ein Fraktal ist:

 Der Satz des Thales lautet:

 „Wenn bei einem Dreieck ABC die Ecke C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel;“ oder: „Im Halbkreis ist der Winkel immer ein rechter“; oder: „verbindet man die Endpunkte eines Durchmessers mit einem beliebigen Punkt der Peripherie des Kreises, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck.“

 Ohne Änderung der Aussage läßt sich der Satz des Thales aber auch so umformulieren:

 Dann und nur dann, wenn bei einem Dreieck ABC die durch A und B führende Gerade den Mittelpunkt eines Kreises schneidet und somit den doppelten Radius des Kreises bildet, hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.

 Da der doppelte Radius (2r) eines Kreises in Verbindung mit der Kreiszahl den Umfang eines Kreises angibt, ist die Behauptung gerechtfertigt, daß die Existenz des rechten Winkels davon abhängig ist, daß konstant ist.

 Zum Beweis dieser Behauptung muß man die Beziehungen der Eckpunkte, Strecken und Winkel eines Dreiecks im Kreis dynamisieren und als Bahnkurve (Orbit) darstellen:

 Es sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C auf dem Kreis mit dem Radius r. Die zugehörigen Winkel seien , und . Die Strecke AB sei c, die Strecke AC sei a, die Strecke CB sei b.

 Da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, existiert eine unbestimmbare Vielzahl von Dreiecken, für deren Winkel bei C gilt:

 0º < < 180º.

 Der Winkel hat 0º, wenn sich die Punkte A und B auf der Geraden, die durch C und den Mittelpunkt des Kreises führt, vereinen. Der Winkel hat 180º, wenn A, B und C in einem Punkt vereinigt sind. Läßt man nun die beiden Punkte A und B (vom Punkt A = B aus) sich auf der Kreislinie gegenläufig bewegen, also einen Orbit beschreiben, ergeben sich zwei auffällige Besonderheiten:

 Erreicht der Winkel 60º, ist das Dreieck gleichseitig, die Punkte A, B und C sind gleich weit voneinander entfernt, bezüglich der Winkel gilt:, die Verbindungsstrecken a, b und c sind exakt gleich lang:

 a = b = c

es gilt dann auch:

 a² = b² = c².

 Wenn die durch A und B führende Gerade den Mittelpunkt M des Kreises schneidet, entspricht deren Entfernung voneinander dem Durchmesser, also dem doppelten Radius (2r). An dieser Stelle der Bahnkurve ist es gleichgültig, welche Position C im Orbit hat. Bei C ist dann, aber auch nur dann, immer ein rechter Winkel zu finden. Das Verhältnis der Strecken a, b und c beträgt in dieser Position des Orbit

 a² + b² = c².

Das ist der Lehrsatz des Pythagoras. Aber nicht nur der Satz des Pythagoras, auch alle anderen mathematischen Winkelfunktionen (Sinus- Cosinus- und Tangensfunktionen) leiten sich aus den konstanten Seiten- und Winkelverhältnisses des rechtwinkligen Dreiecks ab. – Die mathematischen Beweise für den Satz des Thales, den Lehrsatz des Pythagoras und die Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind in jedem guten mathematischen Schulbuch verewigt. Sie brauchen an dieser Stelle nicht wiederholt zu werden.

Die Beschreibung des Dreiecks als Bahnkurve und die Tatsache, daß das Auftreten eines rechtwinkligen Dreiecks untrennbar an den Durchmesser des Kreises gebunden ist, lassen nur den Schluß zu, daß die gesamte Euklidsche Geometrie von der Konstanz der Kreiszahl abhängt. Würde diese auch nur an der denkbar entferntesten Stelle hinter dem Komma einmal abweichen, wäre der rechte Winkel kein rechter Winkel mehr.

 Die Beschreibung des Dreiecks als Orbit legt einen weiteren Schluß nahe: Das Dreieck und alle anderen geometrischen Figuren der klassischen Geometrie sind Fraktale. Das Hauptkennzeichen der fraktalen Geometrie besteht darin, daß die Analyse der einzelnen Teile mit Maßstäben unterschiedlicher Länge immer wieder dieselben Grundelemente offenbart. Dieses Verhalten nennt man Skaleninvarianz oder Selbstähnlichkeit.

 Soll es sich bei einem Dreieck um ein Fraktal handeln, müßte es selbstähnlich sein.

 Abgesehen davon, daß die Selbstähnlichkeit des Dreiecks auf allen Größenskalen von der klassischen, linearen Mathematik seit jeher beschrieben wird (1.), läßt sie sich auch unmittelbar aus dem Orbit, den die Punkte A, B und C beschreiben, ableiten (2.).

 In der klassichen Geometrie kann jedes beliebige Dreieck in zwei rechtwinklige zerlegt werden. Die Senkrechte, die vom Winkel aus auf die gegenüberliegende Gerade gefällt wird, teilt ein Dreieck in zwei andere, einander ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Man kann diese Operation auf allen Größenskalen fortsetzen, heraus kommt immer eine zunehmende Zahl rechtwinkliger Dreiecke. Das rechtwinklige Dreieck ist also skaleninvariant.

  1. Die Skaleninvarianz ergibt sich auch unmittelbar aus der Funktion des Kreises als Orbit. Die Senkrechte, die vom Winkel aus auf die Gerade gefällt wird, kreuzt diese rechtwinklig. Im Kreuzungspunkt bilden sich vier rechte Winkel, zu jedem dieser rechten Winkel gehört wiederum ein Schwarm von Kreisen und rechtwinkligen Dreiecken. Da der Kreis wegen selbst immer skaleninvariant ist, folgt daraus, daß sich dessen Skaleninvarianz auf das rechtwinklige Dreieck überträgt.

 Hinter der Aufteilung eines Dreiecks in eine unbestimmbare (unendliche) Zahl rechtwinkliger Dreiecke steht immer ein und dieselbe bestimmte Operation: Fälle die Senkrechte vom Winkel aus auf die Gerade!

 Wird die gleiche Operation wiederholt ausgeführt, wobei der Ausgabewert eines Zyklus dem nächsten als Eingangswert zugeführt wird, nennt die Mathematik diesen Vorgang Iteration.

 Iteration aber ist – wie eingangs dargelegt – eine der Säulen der fraktalen Geometrie, Die Rechenvorschrift (der Algorithmus) zur Erzeugung von immer mehr, aber immer kleiner werdenden rechtwinkligen Dreiecken lautet lapidar: Fälle die Senkrechte vom rechten Winkel auf die Hypothenuse!

 Wandelt man diese einfache Operation ein wenig ab, indem man vorschreibt: Fälle die Senkrechte vom Winkel aus auf dieGerade, zeichne sie als Strahl vom Winkel aus und ordne jedem der „offenen“ rechten Winkel im Kreuzungspunkt eine beliebige Hypothenuse zu, so wird bereits beim vierten Zyklus die Sache unübersichtlich. Die Gesamtzahl der Dreiecke explodiert regelrecht.

 Das rechtwinklige Dreieck erfüllt alle Merkmale, die ein Fraktal ausmachen: Selbstähnlichkeit und Erzeugbarkeit durch Iteration.

 Die Figuren der Euklidschen Geometrie sind folglich ebenfalls Fraktale. Sie unterscheiden sich von allen anderen Fraktalen lediglich dadurch, daß sie so einfach gestaltet und damit berechenbar sind. Die Berechenbarkeit der geometrischen Figuren, die das Universum der Euklidschen Geometrie bilden, hört freilich schon beim Kreis auf:

 Der englische Wissenschaftler Lewis Richardson fand auf die Frage: „Wie lang ist die Küstenlinie Englands?“ die verblüffende Antwort: „Das hängt vom verwendeten Maßstab ab.“ – Je kleiner der Maßstab, desto länger die Küstenlinie. Das trifft auch auf den Kreis zu, wenn man dessen Durchmesser und Umfang mißt. Rein theoretisch müßte sich dadurch errechnen lassen, daß man den gemessenen Umfang eines Kreises durch den gemessenen Durchmesser desselben dividiert. Da sich die kleinste Meßungenauigkeit auf das Rechenergebnis auswirkt, ist es praktisch undurchführbar, den Wert von meßtechnisch zu ermitteln. Das Ergebnis der Rechenoperation = gemessener Umfang geteilt durch gemessenen Durchmesser wird immer unscharf bleiben. Unscharf deshalb, weil das Ergebnis zufällig zutreffen kann; ob es zutrifft, kann aber nicht bewiesen werden, weil der exakte Wert von sich auf Dauer den Berechnungsversuchen entziehen wird.

 Die Unschärfe nimmt zu, wenn man versucht, durch Messung von Rauminhalt und Durchmesser einer Kugel zu exakt zu ermitteln.

 Der Kreis ist also nicht „die vollkommenste geometrische Figur“, als die er in der klassischen Mathematik angesehen wird, er ist vielmehr das einfachste Fraktal: Bewege Dich geradlinig in gleichbleibendem Abstand zu dem bestimmten Punkt M. – Heraus kommt immer ein Kreis. Der Kreis ist also durchaus linear definierbar, aber gekrümmt.

 Und was macht der Mensch? – Er macht den Kreis zu einem Objekt der euklidschen Geometie: um mit überhaupt rechnen zu können, schneidet er die praktisch unendliche Ziffernfolge dieser Zahl einfach ab. – Ein Verfahren, das dem des Procrustes aufs Haar gleicht.

 Der Kreis, das darf man in diesem Zusammenhang nicht vergessen, ist immer auch der Schnitt durch eine Kugel. Diese ist ebenfalls in höchstem Maße selbstähnlich, denn jeder Schnitt durch eine Kugel, gleichgültig in welcher Ebene der Kugel er stattfindet, ist ein Kreis. Die Kugel ist ein räumliches Fraktal und in allen drei Raumdimensionen vollkommen von determiniert.

 An dieser Nahtstelle triumphiert die Krümmung des Raumes ohnehin über die lineare Mathematik. Der augenfälligste Beleg hierfür sind Wasserwaage und Eisenbahnschienen. Obwohl beide kerzengerade sind, bilden sie entgegen der Voraussage der klassischen Mathematik in keinem feststellbaren Punkt der Erdoberfläche deren Tangente – sie liegen flach auf, obwohl sie die Erdoberfläche mathematisch nur in einem Punkt berühren dürften.

 Hier begegnen sich auch die durch bewirkte mathematische Unschärfe und die Heisenbergsche Unschärferelation der Quantenphysik, wonach Ort und Impuls eines Materieteilchens nicht gleichzeitig ermittelt werden können.

 Sowohl mathematische als auch physikalische Unschärfe wirken sich auf alle Berechnungen aus, die im Rahmen mathematischer und physikalischer Modelle über die Natur angestellt werden. Dennoch beharrt die überwiegende Mehrzahl der entsprechenden Fachleute auf der Richtigkeit ihrer Modellvorstellungen. Es spricht nichts dagegen, daß diese in Teilbereichen durchaus zutreffen, vielfach stößt man aber in diesem Bereich auf Hilfsannahmen und einschränkende Bedingungen. Beispielsweise werden in der Mechanik die unberechenbaren Faktoren Reibung und Wärme ausgeklammert (wegprokrustiert), um die Gesetze der Mechanik mit einfachen, linearen Gleichungen beschreiben zu können.

 Die Gesetze der Mechanik können voraussagen, welche Geschwindigkeit ein Fahrrad unter Vernachlässigung der Reibung idealerweise erreichen wird, wenn eine bestimmte Kraft auf die Pedale einwirkt. Ob aber jemals eine Kraft auf die Pedale einwirken wird, und – sollte sie einwirken – wie groß sie genau sein wird, geht aus den Gesetzen der Mechanik nicht hervor. Die Gesetze der Mechanik können auch nicht exakt sagen, wie dasselbe Fahrrad aussehen wird, wenn es seitlich von einem bestimmten PKW gerammt wird. – Auch dann nicht, wenn Aufprallgeschwindigkeit- und -winkel genau definiert sind.

 Ein weiteres Beispiel aus der Physik:

 Da Ohmsche Gesetz „regelt“ in einem geschlossenen Stromkreis die Beziehung zwischen Spannung (U), Strom (I) und Widerstand (R) nach dem Muster

 I = U/R.

 Der „Anwendungsbereich“ des Ohmschen Gesetzes ist jedoch sehr eng begrenzt. Es gilt nur für einen „geschlossenen Stromkreis“ mit Widerstand. Erstens versagt das Gesetz angesichts der Frage, ob eine Batterie voll oder leer ist, denn R = U/I. Sind die Pole einer Batterie unverbunden, ist I gleich Null Das Ohmsche Gesetz versagt auch im Falle eines Kurzschlusses, denn wenn der Wert des Widerstandes gleich Null ist, lautet die Berechnungsformel I =U/0. Die Division durch Null ist mathematisch nicht definiert, folglich ist eine exakte Voraussage in beiden Fällen nicht möglich. Dennoch weiß jeder, was bei einem Kurzschluß passiert. Die physikalische Berechenbarkeit dieses Teil der Natur setzt also auch beim Ohmschen Gesetz voraus, daß die Extreme abgeschnitten werden. Das Ohmsche Gesetz, so wichtig und zuverlässig es sein mag, taugt auch nicht viel angesichts der Frage, wann eine Glühbirne durchbrennen wird. Die „exakte“ Wissenschaft zieht sich hier auf eine „durchschnittliche Lebenserwartung“, also einen statistischen Wert zurück, zu dessen Berechnung auch die Zahl erforderlich ist, was wiederum die Angabe eines exakten Wertes aus den oben genannten Gründen unmöglich macht. Es läßt sich auch nicht exakt im voraus berechnen, ob beim Durchbrennen einer Glühbirne einfach das Licht ausgeht oder ob es in diesem Zusammenhang zu einem Kurzschluß kommt, der die Sicherung herausspringen läßt.

 Gerade anhand des Kurzschlusses, dem wir hier nun schon zum zweitenmal begegnen, läßt sich unschwer die Beziehung der fraktalen Geometrie zu den dynamischen Eigenschaften der Natur verdeutlichen. Was die Mathematik als Iteration bezeichnet, kennt die Physik als „positive“ Rückkopplung. Der Kurzschluß als positive Rückkopplungsschleife ist weniger bekannt als die akustische Rückkopplung: Sie entsteht zwischen Mikrofon, Verstärker und Lautsprecher: Das Eigenrauschen des Verstärkers wird vom Lautsprecher abgestrahlt und vom Mikrofon aufgefangen. Dieses Signal wiederum wird verstärkt wieder abgestrahlt, binnen Sekunden ertönt das bekannte ohrenbetäubende Pfeifen.

 Der Forschungszweig, der sich mit diesen und ähnlichen Phänomenen beschäftigt, ist dem Publikum unter dem Begriff „Chaosforschung“ bekannt geworden. Dabei ist das „Chaos“, das heillose Durcheinander nicht Forschungsgegenstand, sondern die nichtlinearen, also nicht mit ganzen Zahlen „exakt“ berechenbaren dynamischen Phänomene in der Natur. Diese lassen sich schlagwortartig mit den vier „Elementen“ der klassischen griechischen Naturphilosophie kennzeichnen: Feuer, Wasser, Luft und Erde.

 Ungeachtet dessen wird auch in Zukunft die traditionelle Mathematik von sich behaupten, eine „exakte“ Wissenschaft zu sein; die der klassischen Physik mit ihren aufgefächerten Einzeldisziplinen verpflichteten Physiker werden auch weiterhin ihre Wissenschaft als „exakt“ bezeichnen. Fraktale Geometrie und Chaosforschung werden bis auf weiteres die „Igitt“–Fächer der Naturwissenschaften bleiben.

 Am Ende bleibt festzuhalten: Das „Flaggschiff“ der Euklidschen Geometrie, das rechtwinklige Dreieck, ist im Meer der Fraktale versunken. Die Behauptung, es sei möglich, „exakte“ Naturwissenschaft zu betreiben, ist damit als Märchen entlarvt. Für den Menschen sind die Phänomene der Natur nur in den Fällen berechen- und damit vorhersagbar, wo diese selbst es zuläßt.

 Die von vielen Naturwissenschaftlern aufgestellte Behauptung, eines Tages die Natur nach dem Willen des Menschen umgestalten zu können, offenbart ihre geistige Nähe zu Herrn Procrustes.

 Und die Suche nach der sogenannten „Weltformel“, einer Formel, die die Welt vollständig und abschließend mathematisch genau beschreiben soll, wird auf ewig ein unerfüllbarer Wunschtraum bleiben. Diese „Weltformel“ stellt man sich nämlich als lineare Gleichung vor, man will schließlich die Welt berechenbar machen. Man macht die Rechnung allerdings ohne Thales und Pythagoras. – Und, last but not least, ohne

 die Natur.

-Ende des Zitats!

Aus den Unschärfen, die die exakte Mathematik bereithält, ergibt sich unschwer, daß die Prophezeihungen der Analysten und der Rating-Agenturen keinen größeren Wert haben als die Voraussagen der Pythia. – Man orakelt und vertraut darauf, daß das Orakel sich selbst erfülle.

1 von lat. frangere = brechen

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