Unsichtbar – Sieben Milliarden und der „Frühchentod“ – Mal wieder ist der Planet pünktlich

Unsichtbar – Ein Thementag über verborgene Welten

Eigentlich lagen nur wenige Stunden zwischen der Meldung „wir sind sieben Milliarden“ und der Hiobsbotschaft von drei „Frühchen“, die einer Darminfektion erlegen waren.n

Nicht einmal eine Woche zuvor entdeckte ich beim Trödler an der Rheinbahn-Haltestelle „Elsässer Straße“ das Buch „Die Entdeckung des Chaos„. – Ein Buch, daß ich vor mehr als einem Jahrzehnt an „Ich-weiß-nicht-mehr-wen“ verliehen hatte. – Aber „entdeckte“ ich es wirklich? – Nein, es lag ganz obenauf und das „Apfelmännchen“ auf dem Cover lachte mir im Schein der Oktobersonne gewissermaßen entgegen.

Und nun zu der Frage, die Sie sich stellen: Was haben 7.000.000.000 Menschen und der Tod der Frühchen miteinander zu tun?

Die Antwort enthält gerade das von mir zitierte Buch in der wohl besten populärwissenschaftlichen Darstellung über die erstaunlichen Eigenschaften der „logistischen Funktion“:

John Briggs, F. David Peat, Die Entdeckung des Chaos, München 1993, S. 74ff :

„Wie die Würmer umdrehen
Die Indizien für den Zusammenhang zwischen Ganzheit und Chaos und dem seltsamen Attraktor ergeben sich teilweise aus einer Beschäftigung, die einer der Figuren in Alices Wunderland würdig wären. Als Wissen­schaftler untersuchten, was geschieht, wenn eine einfache mathematische Gleichung mit sich selbst rückgekoppelt wird, drangen sie tief in den tur­bulenten Spiegel ein. Die Untersuchung solcher iterierten Gleichungen enthüllte ein Prachtgemälde der erstaunlichsten mathematischen Eigen­schaften, und es stellte sich heraus, daß hier – wie durch Alices Spiegel -einige der scheinbar verrückten und verdrehten Vorgänge wiedergegeben werden, die sich in unserer wirklichen Welt ereignen.
Das Wachstum von Populationen weckte stets das Interesse von Biolo­gen, Ökologen, Epidemiologen – und auch von Mathematikern. Hinter den täuschend einfachen Formeln des Populationswachstums lauert näm­lich ein vielfältiges und abwechslungsreiches Verhalten, das von der ein­fachsten Ordnung bis zum Chaos reicht.
Die Geschichte bietet eine Fülle von Beispielen für Populationen, die außer Kontrolle gerieten: die Freisetzung einer kleinen Kaninchenschar in Australien, deren Nachkommen dann explosionsartig den ganzen Kontinent erfüllten; die Eroberung der nordöstlichen Vereinigten Staa­ten durch die Raupe des Großen Schwammspinners, die aus einem Bostoner Laboratorium entwichen war; die fortschreitende Flut der Kil­lerbienen; die Grippewellen, die jahrelang zu schlafen scheinen und dann plötzlich seuchenartig die ganze Erde umwandern, um schließlich wieder bis zum Beginn des nächsten Zyklus abzusterben.
Einige Populationen vervielfachen sich schnell, andere sterben rasch aus; einige wachsen und fallen mit periodischer Regelmäßigkeit; andere benehmen sich – wie wir gleich sehen werden – nach den Regeln seltsa­mer Attraktoren, also chaotisch.
Das Wachstum von Kaninchenpopulationen wäre ein zu komplexer Aus­gangspunkt, um den Ausbruch des Chaos zu verstehen. Das liegt daran, daß einige Kaninchen schon Junge kriegen, während andere noch heran­reifen oder gerade schwanger sind. Eine Gleichung, die die Kaninchen­population beschreiben soll, müßte all diese Faktoren berücksichtigen.
Ein viel einfacheres System, aus dessen Untersuchung man jedoch ebensoviel lernen kann, ist die Population eines Parasiten, der im Sommer lebt und nach der Ablage seiner Eier stirbt, wenn es kühl wird. Der Große Schwammspinner ist ein gutes Beispiel. Fangen wir mit einer klei­nen Kolonie an.
Nehmen wir an, daß jedes Jahr etwa der gleiche Prozentsatz von Eiern schlüpft und überlebt. Dann hängt dieses Jahr die Größe der Larvenkolo­nie davon ab, wieviele Larven sich im letzten Jahr verpuppten, in Falter verwandelten und dann Eier legten. Nehmen wir an, die Größe unserer Kolonie beträgt 100 Falter und die Kolonie verdoppelt sich jedes Jahr. Wenn im zweiten Jahr die Größe 200 beträgt, so wird sie im folgenden Jahr 400 sein.
Im dritten Jahr verdoppelt sich die Größe der Kolonie wiederum.
Es ist also ganz einfach, eine allgemeine Formel anzugeben, die es erlaubt, die Population eines Jahres aus der des vergangenen Jahres auszu­rechnen.
Natürlich verdoppeln sich nicht alle Populationen. Manche mögen schneller oder langsamer anwachsen. Wenn wir die Geburtenrate B nennen, dann ist jede Kolonie in diesem Jahr Bmal größer als im vorigen Jahr. In unserem Beispiel des Großen Schwammspinners nahmen wir B = 2 an, also die jährliche Verdoppelung der Population. Lassen wir nun aber auch andere Werte von B zu, so ergeben sich verschiedene Möglichkeiten von Wachstum.
Diese Gleichung des exponentiellen Wachstums gibt recht gut das Ver­halten kleiner oder verdünnter Populationen wieder, wenn es genügend Nahrung gibt und wenn sie genügend freien Raum vorfinden, in dem sie expandieren können. Aber die Formel hat offensichtlich ihre Grenzen. Wenden wir sie beispielsweise auf die Kaninchen an, die sich in jeder Ge­neration verdoppeln, dann sagt die Gleichung voraus, daß jenes ur­sprüngliche australische Pärchen sich nach nur 120 Generationen auf das ganze Universum ausgebreitet hätte! In der wirklichen Welt kann exponentielles Wachstum nicht ungebremst fortschreiten, weil jedes Popula­tionssystem von anderen Systemen in der Nahrungskette abhängig ist. Alle diese Systeme sind miteinander verknüpft, so daß schließlich die Populationsgröße von der gesamten Umwelt abhängt.
Im Jahre 1845 führte P. F. Verhulst, ein Wissenschaftler, der sich für die Mathematik des Populationswachstums interessierte, ein neues Glied in die Gleichung ein, um zu beschreiben, wie sich eine Population in einem abgeschlossenen Gebiet entwickelt. Die Einführung dieses Gliedes, das die Gleichung nichtlinear macht, -war ein einfacher, aber raffinierter Trick, um den Einfluß aller anderen Umweltfaktoren auf das Popula­tionswachstum zu berechnen.
Die breite Anwendbarkeit der nichtlinearen Version der Populationsgleichung wird überraschende Weiterungen nach sich ziehen: Wo immer diese Gleichung anwendbar ist, da lauert die Möglichkeit des Chaos.
Nichtlineare Metamorphose
Machen wir nun das vielfältige chaotische Verhalten der iterierten Wachs-tumsgleichung anschaulich und beginnen wir dabei mit einer Population ^on Larven des Großen Schwammspinners, die irgendeiner Form der Geburtenkontrolle unterworfen waren, z. B. indem sie mit einem Insekti­zid besprüht wurden. Wenn wir annehmen, daß die Biester nicht mutie-en, so wird die Population jedes Jahr ein bißchen niedriger ausfallen als m Jahr zuvor. Wenn die Geburtenrate B = 0,99 beträgt, so wird schließ­ich auch eine große Population auf o hin abfallen. Die Kolonie wird erlöschen.
Was aber geschieht, wenn die Geburtenrate größer als i ist, sagen wir ,5? Wegen des nichtlinearen Verhulst-Faktors wird dann eine große Population zunächst abnehmen, sich aber schließlich auf einen konstanten Wert von V3 oder 66% der ursprünglichen Größe einspielen. Genauso yird eine sehr kleine Anfangspopulation anwachsen und sich dieser Grenze vor V3 annähern.
Wählen wir die Geburtenrate B = 2,5, so liefert die Gleichung ein gewisses Schwingungsverhalten, weil die beiden konkurrierenden Wachstumsglieder einander widerstreben, aber anschließend wird doch die gleiche Populationszahl erreicht. Es sieht so aus, als wäre die Zahl von 66 % in Attraktor geworden.
Schieben wir nun den Wert von B bis auf 2,98. Was geschieht dann ? Die Schwingung hält länger an, aber auch hier läßt sich schließlich die Population bei 66 % ihrer ursprünglichen Größe nieder – wir sind wieder auf em Attraktor.
Gehen wir nun mit der Geburtenrate B noch ein wenig höher, so halten lese Schwingungen immer länger an, aber die Population erreicht schließlich immer die konstanten 66%. Wenn jedoch die Geburtenrate den kritischen Wert von 3,0 erreicht, so geschieht etwas Neues. Der Attraktor bei 0,66 wird instabil und spaltet sich in zwei. Nun nähert sich die Population nicht mehr dem einen Wert, sondern sie schwankt zwi­schen zwei stabilen Werten hin und her (Abb. 3.6).
In die Wirklichkeit übersetzt bedeutet dies, daß die kleine Falterpopu­lation sich wie wild vermehren will und eine große Menge Eier für die nächste Saison zurückläßt. In der nächsten Saison ist dann aber das ganze Gebiet überbevölkert, und dies führt zum Absterben, so daß die wenigen überlebenden Insekten nur eine kleine Anzahl von Eiern für das folgende Jahr zurücklassen. Die Population schwankt also zwischen hohen und niedrigen Anzahlen auf und nieder. Das Verhalten des Systems ist kom­plexer geworden
Kurbeln wir die Geburtenrate auf einen Wert über 3,4495 an, so wer­den die beiden festen Zahlen wiederum instabil, spalten sich auf und erzeugen eine Population, die zwischen vier verschiedenen Werten schwankt. Jetzt ist in jeweils vier aufeinanderfolgenden Jahren die Rau­penpopulation radikal verschieden.
Erreicht die Geburtenrate den Wert 3,56, so werden auch diese Schwan­kungen instabil, und es tritt Bifurkation in acht Fixpunkte ein. Bei 3,569 verzweigen sie sich weiter in nun 16 Attraktoren. Die Sache wird rasch sehr verworren. An dieser Stelle ist es schon fast unmöglich, daß Sie im Steigen und Fallen der Raupenpopulation in Ihrem Garten noch irgend­eine Ordnung erkennen. Von Jahr zu Jahr springt die Anzahl so gut wie zufällig hin und her, und wir können darin überhaupt kein Muster erken­nen. Schließlich, wenn die Geburtenrate den Wert 3,56999 erreicht, ist die Anzahl verschiedener Attraktoren unendlich groß geworden!
Robert May, ein Physiker aus Princeton, der zum Biologen wurde, ist eine der Schlüsselfiguren in der Geschichte, in deren Verlauf die Forscher entdeckten, was man heute den »Periodenverdoppelungsweg zum Chaos« nennt. (Periode nennt man die Zeit, die ein schwingendes System braucht, um in seinen ursprünglichen Zustand zurückzukehren.) Anfang 1970 benützte May ein Modell, das sich auf die Verhulst-Formel stützte, das ihm erlaubte, die Geburtenrate ansteigen oder abschwellen zu lassen, indem er das Nahrungsangebot änderte. May fand heraus, daß die Zeit, die das System brauchte, um an seinen Ausgangspunkt zurückzukehren, sich bei gewissen kritischen Werten der Gleichung verdoppelte. Dann aber, nach mehreren solchen Zyklen der Periodenverdoppelung, begann die Insektenpopulation in seinem Modell zufällig zu variieren, genau wie wirkliche Insektenpopulationen, bei denen keine vorhersagbare Periode für die Rückkehr in den Ausgangszustand zu beobachten ist (Abb. 3.8).
Dies ist aber, wenigstens mathematisch gesehen, nicht das Ende der Geschichte. Die Wissenschaftler haben erkannt, daß der Periodenverdoppelungsweg zum Chaos einen ganzen Zirkus von früher unvorstellbaren  Ordnungen enthält. Einige werden im Abb. 3.9 sichtbar. Hier hat ein Computer die Populationen für verschiedene Geburtenraten nach Ver-hulstens nichtlinearer Gleichung berechnet und aufgezeichnet.
Diese Zeichnung veranschaulicht, wieviel Struktur im Chaos verborgen liegt, und bietet so ein weiteres Abbild des seltsamen Attraktors.
Zunächst fallen die dunklen Flächen ins Auge, das sind all die Punkte, die die praktisch unendlich vielen Stellen bezeichnen, an denen das System sich aufhalten kann. Im Geburtenratenbereich von 3,56999 bis 3,7 (zwischen a und b am oberen Rand des Bildes) schwankt das System (die jährliche Anzahl der Larven) unvorhersagbar zwischen zunächst vier und dann zwei breiten anziehenden Bereichen hin und her. Diese dunklen Bereiche nähern sich einander an, bis sie schließlich an der durch den Pfeil bei b bezeichneten Stelle miteinander verschmelzen. Hier, ungefähr bei 3,7, könnte die Population (die Anzahl der Larven in Ihrem Garten) fast jeden beliebigen Wert annehmen, von nahe bei o bis zu einem sehr hohen Wert (der im Diagramm durch die Zahl i in der oberen linken Ecke bezeichnet ist). Dabei springt die Population von Jahr zu Jahr in einer verrückten, unvorhersagbaren Weise hin und her. Erst wenn die Geburtenrate 4,0 erreicht, ist jedoch der ganze Phasenraum ausgefüllt. Die Art, in der sich in diesem Rahmen die Punkte von links nach rechts immer weiter auffächern, deutet darauf hin, daß das chaotische Anfüllen des Phasenraumes ein zugleich seltsam geordneter Prozeß ist.
Zweitens fällt uns nun auf, daß sich in diesem sich ins Chaos entfaltenden Fächer dunkle parabelförmige Linien abzeichnen. Längs diesen Linien ist das System mit höherer Wahrscheinlichkeit anzutreffen. Wieder eine Form der Ordnung im Chaos.
Drittens nehmen wir in dem sich ausbreitenden Schatten des Chaos weiße, senkrechte Bänder wahr. Dies sind Bereiche – »Fenster« nennen dies die Physiker gern -, in denen das System stabil wird. Sehen wir beispielsweise den Bereich oberhalb von b = 3,8 an, im Bild durch die Klammer c-d bezeichnet. Hier, mitten in all diesem sich ausbreitenden Chaos, wird die Population plötzlich wieder vorhersagbar und wächst in zwei aufeinanderfolgenden Jahren an, um im dritten wieder abzunehmen. Wenn aber die Geburtenrate (das Nahrungsangebot) noch ein wenig höher gestupst wird, so reißt es das Fenster auf und das Chaos flutet wieder herein. Solche Bereiche von Stabilität und Vorhersagbarkeit mitten in den zufälligen Schwankungen nennt man »Intermittenz«.“

Das augenscheinlich langweilige Bifurkationsamuster, auf das „Alice“ hier sein Fernrohr richtet, ist erstens so langweilig gar nicht, vielmehr enthält es atemberaubende Elemente; zweitens ist genau dise nichtlineare Waachstumsfunktion für die Menschheit ebenso „zuständig“ wir für Darmkeime, Ebola-Viren, Pest & Cholera, aber auch EHEC. Und weil das so ist, war meine Voraussage, daß EHEC keine große „Reichweite“ haben würde, auch zutreffend.

Auch die „Reichweite“ des Menschen ist begrenzt. Er darf sich nicht wundern, wenn in nicht allzu ferner Zukunft die Population -ohne erkennbaren äußeren Anlaß  einbricht.

Die Frage danach, wieviele Menschen der Planet verträgt, erübrigt sich.

Jeder, der sich mit den Fragen nach dem Schicksal des Planeten beschäftigt, darf sich die Bahnkurve der logistischen Funktion nicht entgehen lassen. Als „Biflambda“ findet er sie in der Liste der Fraktale in „Fractint“. – Ich empfehle, mit der „Zoombox“ in die „Fenster“ zu zoomen. – Da wird es atemberaubend!

Erstaunlich, was im Inneren der "logistischen Funtion" so alles los ist.

Im „geordneten Chaos“  ist mächtig was los! – Und niemand und nichts entgeht ihm!

Deswegen ist es auch müßig, den „Urpsrung“ der Bakterien zu suchen, die zum tode der „Frühchen“ geführt hat, – die „Quelle“ hat sich längst verfielfältigt und lauert quasi überall.

Nur der Mensch braucht sie , um „Schuld“ zuweisen zu können. – Das ist der schlimmste Zwang, dem der Mensch unterliegt. – Wenn „der Schuldige“ gefunden ist, wird alle Wissenschaft unwichtig.

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