Saharastaub : Noch eine Unbekannte in der Rechnung mit vielen Unbekannten

Juli 2, 2013

Saharastaub : Der große Unbekannte bei den Klimaprognosen – Nachrichten Wissenschaft – Natur & Umwelt – DIE WELT.

Mit zwei Unbekannten, nämlich X und Y kommen Mathematiker nd Physiker noch zurecht. – Komt eine dritte Unbekannte dazu, wird des ernst: Die Gleichungen lassen sich nicht mehr lösen. – Offiziell kommt jetzt noch eine „vierte“ unbekannte Größe hinzu.

Es ist aber nur „offiziell“ die „vierte“ Unbekannte; – es ist gar nicht so lange her, daß ich auf andere unbekannte Größen, vor allem die Wärme, die aus dem Erdinneren kommt, hingewiesen hatte: https://advocatusdeorum.wordpress.com/2013/06/29/kosmos-kohlendioxid-wer-ist-schuld-an-klimawandel-und-hochwasser/

Wie dem auch sei, jede bislang „unveröffentlichte“ Unbekannte Größe, die bei der „exakten“ Berechnung der zukünftigen Klimaentwicklung unberückschtigt blieb, verwandelt die „Berechnungen“ zu einen Haufen mathematischen Mülls:

Prokrustes und die Mathematik

– Das Märchen von der „exakten“ Naturwissenschaft –

Wer war Prokrustes? – das werden sich die mit antiker Mythologie wenig vertrauten Leser fragen, – allerdings wird jeder Leser zunächst einmal darüber nachdenken, was die Hauptfigur einer griechischen Sage mit Mathematik zu tun haben mag:

Prokrustes ist eine Sagengestalt von besonderer Hinterhältigkeit und Brutalität. Er betrieb eine Herberge und bot vorüberziehenden Wanderern ein Nachtlager an. Der Gast bekam jeweils ein unpaßendes Bett; der hochgewachsene bekam ein Bett, das zu kurz war, der kleinwüchsige eines, das zu lang war. In der Nacht kam Prokrustes und tötete seine Gäste, indem er sie der Größe des Bettes anpaßte: den kleinen hängte er Ambonten an die Füße, bis sie lang genug waren, das Bett auszufüllen, den anderen kappte Prokrustes die überstehenden Gliedmaßen. – Der moderne Mensch verfährt mit der Natur und auch mit seinen Mitmenschen häufig in ähnlicher Weise, was vermuten läßt, daß Mythen oft ewige Wahrheiten in sich bergen.

Sollte der Mensch, und dieser Frage wird im folgenden nachgegangen werden, am Ende auch die Mathematik prokrustiert haben?

Benoît B. Mandelbrot stellte im Jahre 1975 seine Idee von der „fraktalen Geometrie der Natur“ einer interessierten Öffentlichkeit vor. Er prägte das Kunstwort „Fraktal“1 zur Beschreibung von natürlich auftretenden Formen und Prozessen, die mit Hilfe der bekannten geometrischen Modelle bis dahin nicht beschrieben werden konnten. Er bewies anhand vieler Beispiele, daß sogenannte „Monsterkurven“ und ähnliche „pathologische“ Objekte, die einige Mathematiker Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts untersucht hatten, sich hervorragend eigneten, natürliche Formen wie Bäume, Lungengewebe, Federn, Felsen, Wolken oder Galaxien zu beschreiben. – All diese durchaus geometrisch anmutenden Objekte entziehen sich einer exakten Definition im Rahmen der klassischen, euklidschen Geometrie.

Erzeugt werden mathematische Fraktale durch sogenannte Iteration. Das bedeutet die ständige Wiederholung einer Rechenoperation, wobei der Endwert der ersten Operation den Anfangswert der zweiten bildet, deßen Endwert wiederum ist der Anfangswert der dritten, und so weiter und so fort…

Wesentliches Kennzeichen eines Fraktalen Objekts ist dessen Selbstähnlichkeit auf allen Größenskalen. Bricht man aus einem Blumenkohl ein Röschen heraus und betrachtet es etwas genauer, stellt man verblüfft fest, daß es dem ganzen Kohlkopf sehr ähnlich sieht – kleiner zwar, aber von ähnlicher Gestalt. Bricht man aus diesem ein weiteres Röschen heraus, bleibt die Ähnlichkeit zum ersten Röschen und zur Gesamtgestalt des Blumenkohls ebenfalls erhalten. Die Natur setzt diesem Verfahren beim Blumenkohl freilich eine untere Grenze; das aber ändert nicht den Grundsatz.

Trotz derartiger alltäglicher Erfahrungswerte bleibt das Wesen der fraktalen Geometrie bis heute der breiten Öffentlichkeit verborgen; u.a. deshalb, weil die überwiegende Mehrzahl der Mathematiker und Physiker die Auseinandersetzung mit der fraktalen Geometrie und den nichtlinearen Phänomenen der Natur scheut. In den Lehrplänen der Schulen, aber auch in den Vorlesungsverzeichnissen vieler Hochschulen sucht man diese Themen meist vergeblich. Diese Institutionen verkaufen weiterhin den Lehrsatz des Phytagoras und den Satz des Thales als grundlegende Erfindungen menschlichen Geistes, obwohl gerade die tradierten Gesetze der Geometrie die Vermutung nahelegen, daß auch das rechtwinklige Dreieck ein Fraktal ist:

Der Satz des Thales lautet:

Wenn bei einem Dreieck ABC die Ecke C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel;“ oder: „Im Halbkreis ist der Winkel immer ein rechter“; oder: „verbindet man die Endpunkte eines Durchmessers mit einem beliebigen Punkt der Peripherie des Kreises, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck.“

Ohne Änderung der Außage läßt sich der Satz des Thales aber auch so umformulieren:

Dann und nur dann, wenn bei einem Dreieck ABC die durch A und B führende Gerade den Mittelpunkt eines Kreises schneidet und somit den doppelten Radius des Kreises bildet, hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.

Da der doppelte Radius (2r) eines Kreises in Verbindung mit der Kreiszahl den Umfang eines Kreises angibt, ist die Behauptung gerechtfertigt, daß die Existenz des rechten Winkels davon abhängig ist, daß konstant ist.

Zum Beweis dieser Behauptung muß man die Beziehungen der Eckpunkte, Strecken und Winkel eines Dreiecks im Kreis dynamisieren und als Bahnkurve (Orbit) darstellen:

Es sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C auf dem Kreis mit dem Radius r. Die zugehörigen Winkel seien , und . Die Strecke AB sei c, die Strecke AC sei a, die Strecke CB sei b.

Da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, existiert eine unbestimmbare Vielzahl von Dreiecken, für deren Winkel bei C gilt:

0º < < 180º.

Der Winkel hat 0º, wenn sich die Punkte A und B auf der Geraden, die durch C und den Mittelpunkt des Kreises führt, vereinen. Der Winkel hat 180º, wenn A, B und C in einem Punkt vereinigt sind. Läßt man nun die beiden Punkte A und B (vom Punkt A = B aus) sich auf der Kreislinie gegenläufig bewegen, also einen Orbit beschreiben, ergeben sich zwei auffällige Besonderheiten:

Erreicht der Winkel 60º, ist das Dreieck gleichseitig, die Punkte A, B und C sind gleich weit voneinander entfernt, bezüglich der Winkel gilt:, die Verbindungsstrecken a, b und c sind exakt gleich lang:

a = b = c

es gilt dann auch:

a² = b² = c².

Wenn die durch A und B führende Gerade den Mittelpunkt M des Kreises schneidet, entspricht deren Entfernung voneinander dem Durchmesser, also dem doppelten Radius (2r). An dieser Stelle der Bahnkurve ist es gleichgültig, welche Position C im Orbit hat. Bei C ist dann, aber auch nur dann, immer ein rechter Winkel zu finden. Das Verhältnis der Strecken a, b und c beträgt in dieser Position des Orbit

a² + b² = c².

Das ist der Lehrsatz des Pythagoras. Aber nicht nur der Satz des Pythagoras, auch alle anderen mathematischen Winkelfunktionen (Sinus- Cosinus- und Tangensfunktionen) leiten sich aus den konstanten Seiten- und Winkelverhältnisses des rechtwinkligen Dreiecks ab. – Die mathematischen Beweise für den Satz des Thales, den Lehrsatz des Pythagoras und die Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind in jedem guten mathematischen Schulbuch verewigt. Sie brauchen an dieser Stelle nicht wiederholt zu werden.

Die Beschreibung des Dreiecks als Bahnkurve und die Tatsache, daß das Auftreten eines rechtwinkligen Dreiecks untrennbar an den Durchmesser des Kreises gebunden ist, lassen nur den Schluß zu, daß die gesamte Euklidische Geometrie von der Konstanz der Kreiszahl abhängt. Würde diese auch nur an der denkbar entferntesten Stelle hinter dem Komma einmal abweichen, wäre der rechte Winkel kein rechter Winkel mehr.

Die Beschreibung des Dreiecks als Orbit legt einen weiteren Schluß nahe: Das Dreieck und alle anderen geometrischen Figuren der klassischen Geometrie sind Fraktale. Das Hauptkennzeichen der fraktalen Geometrie besteht darin, daß die Analyse der einzelnen Teile mit Maßstäben unterschiedlicher Länge immer wieder dieselben Grundelemente offenbart. Dieses Verhalten nennt man Skaleninvarianz oder Selbstähnlichkeit.

Soll es sich bei einem Dreieck um ein Fraktal handeln, müßte es selbstähnlich sein.

Abgesehen davon, daß die Selbstähnlichkeit des Dreiecks auf allen Größenskalen von der klassischen, linearen Mathematik seit jeher beschrieben wird (1.), läßt sie sich auch unmittelbar aus dem Orbit, den die Punkte A, B und C beschreiben, ableiten (2.).

  1. In der klassischen Geometrie kann jedes beliebige Dreieck in zwei rechtwinklige zerlegt werden. Die Senkrechte, die vom Winkel aus auf die gegenüberliegende Gerade gefällt wird, teilt ein Dreieck in zwei andere, einander ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Man kann diese Operation auf allen Größenskalen fortsetzen, heraus kommt immer eine zunehmende Zahl rechtwinkliger Dreiecke. Das rechtwinklige Dreieck ist also skaleninvariant.

  2. Die Skaleninvarianz ergibt sich auch unmittelbar aus der Funktion des Kreises als Orbit. Die Senkrechte, die vom Winkel aus auf die Gerade gefällt wird, kreuzt diese rechtwinklig. Im Kreuzungspunkt bilden sich vier rechte Winkel, zu jedem dieser rechten Winkel gehört wiederum ein Schwarm von Kreisen und rechtwinkligen Dreiecken. Da der Kreis wegen selbst immer skaleninvariant ist, folgt daraus, daß sich dessen Skaleninvarianz auf das rechtwinklige Dreieck überträgt.

Hinter der Aufteilung eines Dreiecks in eine unbestimmbare (unendliche) Zahl rechtwinkliger Dreiecke steht immer ein und dieselbe bestimmte Operation: Fälle die Senkrechte vom Winkel aus auf die Gerade!

Wird die gleiche Operation wiederholt ausgeführt, wobei der Ausgabewert eines Zyklus dem nächsten als Eingangswert zugeführt wird, nennt die Mathematik diesen Vorgang Iteration.

Iteration aber ist – wie eingangs dargelegt – eine der Säulen der fraktalen Geometrie, Die Rechenvorschrift (der Algorithmus) zur Erzeugung von immer mehr, aber immer kleiner werdenden rechtwinkligen Dreiecken lautet lapidar: Fälle die Senkrechte vom rechten Winkel auf die Hypothenuse!

Wandelt man diese einfache Operation ein wenig ab, indem man vorschreibt: Fälle die Senkrechte vom Winkel aus auf die Gerade, zeichne sie als Strahl vom Winkel aus und ordne jedem der „offenen“ rechten Winkel im Kreuzungspunkt eine beliebige Hypothenuse zu, so wird bereits beim vierten Zyklus die Sache unübersichtlich. Die Gesamtzahl der Dreiecke explodiert regelrecht.

Das rechtwinklige Dreieck erfüllt alle Merkmale, die ein Fraktal ausmachen: Selbstähnlichkeit und Erzeugbarkeit durch Iteration.

Die Figuren der euklidischen Geometrie sind folglich ebenfalls Fraktale. Sie unterscheiden sich von allen anderen Fraktalen lediglich dadurch, daß sie so einfach gestaltet und damit berechenbar sind. Die Berechenbarkeit der geometrischen Figuren, die das Universum der Euklidischen Geometrie bilden, hört freilich schon beim Kreis auf:

Der englische Wissenschaftler Lewis Richardson fand auf die Frage: „Wie lang ist die Küstenlinie Englands?“ die verblüffende Antwort: „Das hängt vom verwendeten Maßstab ab.“ – Je kleiner der Maßstab, desto länger die Küstenlinie. Das trifft auch auf den Kreis zu, wenn man dessen Durchmesser und Umfang mißt. Rein theoretisch müßte sich dadurch errechnen lassen, daß man den gemessenen Umfang eines Kreises durch den gemeßenen Durchmesser desselben dividiert. Da sich die kleinste Meßungenauigkeit auf das Rechenergebnis auswirkt, ist es praktisch undurchführbar, den Wert von meßtechnisch zu ermitteln. Das Ergebnis der Rechenoperation = gemessener Umfang geteilt durch gemessenen Durchmesser wird immer unscharf bleiben. Unscharf deshalb, weil das Ergebnis zufällig zutreffen kann; ob es zutrifft, kann aber nicht bewiesen werden, weil der exakte Wert von sich auf Daür den Berechnungsversuchen entziehen wird.

Die Unschärfe nimmt zu, wenn man versucht, durch Messung von Rauminhalt und Durchmesser einer Kugel zu exakt zu ermitteln.

Der Kreis ist also nicht „die vollkommenste geometrische Figur“, als die er in der klassischen Mathematik angesehen wird, er ist vielmehr das einfachste Fraktal: Bewege Dich geradlinig in gleichbleibendem Abstand zu dem bestimmten Punkt M. – Heraus kommt immer ein Kreis. Der Kreis ist also durchaus linear definierbar, aber gekrümmt.

Und was macht der Mensch? – Er macht den Kreis zu einem Objekt der euklidischen Geometrie: um mit überhaupt rechnen zu können, schneidet er die praktisch unendliche Ziffernfolge dieser Zahl einfach ab. – Ein Verfahren, das dem des Prokrustes aufs Haar gleicht.

Der Kreis, das darf man in diesem Zusammenhang nicht vergessen, ist immer auch der Schnitt durch eine Kugel. Diese ist ebenfalls in höchstem Maße selbstähnlich, denn jeder Schnitt durch eine Kugel, gleichgültig in welcher Ebene der Kugel er stattfindet, ist ein Kreis. Die Kugel ist ein räumliches Fraktal und in allen drei Raumdimensionen vollkommen von determiniert.

An dieser Nahtstelle triumphiert die Krümmung des Raumes ohnehin über die lineare Mathematik. Der augenfälligste Beleg hierfür sind Wasserwaage und Eisenbahnschienen. Obwohl beide kerzengerade sind, bilden sie entgegen der Voraußage der klassischen Mathematik in keinem feststellbaren Punkt der Erdoberfläche deren Tangente – sie liegen flach auf, obwohl sie die Erdoberfläche mathematisch nur in einem Punkt berühren dürften.

Hier begegnen sich auch die durch bewirkte mathematische Unschärfe und die Heisenbergsche Unschärferelation der Quantenphysik, wonach Ort und Impuls eines Materieteilchens nicht gleichzeitig ermittelt werden können.

Sowohl mathematische als auch physikalische Unschärfe wirken sich auf alle Berechnungen aus, die im Rahmen mathematischer und physikalischer Modelle über die Natur angestellt werden. Dennoch beharrt die überwiegende Mehrzahl der entsprechenden Fachleute auf der Richtigkeit ihrer Modellvorstellungen. Es spricht nichts dagegen, daß diese in Teilbereichen durchaus zutreffen, vielfach stößt man aber in diesem Bereich auf Hilfsannahmen und einschränkende Bedingungen. Beispielsweise werden in der Mechanik die unberechenbaren Faktoren Reibung und Wärme ausgeklammert (wegprokrustiert), um die Gesetze der Mechanik mit einfachen, linearen Gleichungen beschreiben zu können.

Die Gesetze der Mechanik können voraußagen, welche Geschwindigkeit ein Fahrrad unter Vernachlässigung der Reibung idealerweise erreichen wird, wenn eine bestimmte Kraft auf die Pedale einwirkt. Ob aber jemals eine Kraft auf die Pedale einwirken wird, und – sollte sie einwirken – wie groß sie genau sein wird, geht aus den Gesetzen der Mechanik nicht hervor. Die Gesetze der Mechanik können auch nicht exakt sagen, wie dasselbe Fahrrad außehen wird, wenn es seitlich von einem bestimmten PKW gerammt wird. – Auch dann nicht, wenn Aufprallgeschwindigkeit- und -winkel genau definiert sind.

Ein weiteres Beispiel aus der Physik:

Da Ohmsche Gesetz „regelt“ in einem geschlossenen Stromkreis die Beziehung zwischen Spannung (U), Strom (I) und Widerstand (R) nach dem Muster

I = U/R.

Der „Anwendungsbereich“ des Ohmschen Gesetzes ist jedoch sehr eng begrenzt. Es gilt nur für einen „geschlossenen Stromkreis“ mit Widerstand. Erstens versagt das Gesetz angesichts der Frage, ob eine Batterie voll oder leer ist, denn R = U/I. Sind die Pole einer Batterie unverbunden, ist I gleich Null Das Ohmsche Gesetz versagt auch im Falle eines Kurzschlusses, denn wenn der Wert des Widerstandes gleich Null ist, lautet die Berechnungsformel I =U/0. Die Division durch Null ist mathematisch nicht definiert, folglich ist eine exakte Voraußage in beiden Fällen nicht möglich. Dennoch weiß jeder, was bei einem Kurzschluß passiert. Die physikalische Berechenbarkeit dieses Teil der Natur setzt also auch beim Ohmschen Gesetz voraus, daß die Extreme abgeschnitten werden. Das Ohmsche Gesetz, so wichtig und zuverlässig es sein mag, taugt auch nicht viel angesichts der Frage, wann eine Glühbirne durchbrennen wird. Die „exakte“ Wissenschaft zieht sich hier auf eine „durchschnittliche Lebenserwartung“, also einen statistischen Wert zurück, zu dessen Berechnung auch die Zahl erforderlich ist, was wiederum die Angabe eines exakten Wertes aus den oben genannten Gründen unmöglich macht. Es läßt sich auch nicht exakt im voraus berechnen, ob beim Durchbrennen einer Glühbirne einfach das Licht ausgeht oder ob es in diesem Zusammenhang zu einem Kurzschluß kommt, der die Sicherung heraußpringen läßt.

Gerade anhand des Kurzschlusses, dem wir hier nun schon zum zweitenmal begegnen, läßt sich unschwer die Beziehung der fraktalen Geometrie zu den dynamischen Eigenschaften der Natur verdeutlichen. Was die Mathematik als Iteration bezeichnet, kennt die Physik als „positive“ Rückkopplung. Der Kurzschluß als positive Rückkopplungsschleife ist weniger bekannt als die akustische Rückkopplung: Sie entsteht zwischen Mikrofon, Verstärker und Lautsprecher: Das Eigenrauschen des Verstärkers wird vom Lautsprecher abgestrahlt und vom Mikrofon aufgefangen. Dieses Signal wiederum wird verstärkt wieder abgestrahlt, binnen Sekunden ertönt das bekannte ohrenbetäubende Pfeifen.

Der Forschungszweig, der sich mit diesen und ähnlichen Phänomenen beschäftigt, ist dem Publikum unter dem Begriff „Chaosforschung“ bekannt geworden. Dabei ist das „Chaos“, das heillose Durcheinander nicht Forschungsgegenstand, sondern die nichtlinearen, also nicht mit ganzen Zahlen „exakt“ berechenbaren dynamischen Phänomene in der Natur. Diese lassen sich schlagwortartig mit den vier „Elementen“ der klassischen griechischen Naturphilosophie kennzeichnen: Feuer, Wasser, Luft und Erde.

Ungeachtet dessen wird auch in Zukunft die traditionelle Mathematik von sich behaupten, eine „exakte“ Wissenschaft zu sein; die der klassischen Physik mit ihren aufgefächerten Einzeldisziplinen verpflichteten Physiker werden auch weiterhin ihre Wissenschaft als „exakt“ bezeichnen. Fraktale Geometrie und Chaosforschung werden bis auf weiteres die „Igitt“–Fächer der Naturwissenschaften bleiben.

Am Ende bleibt festzuhalten: Das „Flaggschiff“ der euklidischen Geometrie, das rechtwinklige Dreieck, ist im Meer der Fraktale versunken. Die Behauptung, es sei möglich, „exakte“ Naturwissenschaft zu betreiben, ist damit als Märchen entlarvt. Für den Menschen sind die Phänomene der Natur nur in den Fällen berechen- und damit vorhersagbar, wo diese selbst es zuläßt.

Die von vielen Naturwissenschaftlern aufgestellte Behauptung, eines Tages die Natur nach dem Willen des Menschen umgestalten zu können, offenbart ihre geistige Nähe zu Herrn Prokrustes.

Und die Suche nach der sogenannten „Weltformel“, einer Formel, die die Welt vollständig und abschließend mathematisch genau beschreiben soll, wird auf ewig ein unerfüllbarer Wunschtraum bleiben. Diese „Weltformel“ stellt man sich nämlich als lineare Gleichung vor, man will schließlich die Welt berechenbar machen. Man macht die Rechnung allerdings ohne Thales und Pythagoras. – Und, last but not least, ohne

.

Ursprünglich war dies das Ende der kleinen Betrachtung über die fraktale Natur der Geometrie. Aber die Überschrift stellt eine Beziehung her zwischen Prokrustes und der Mathematik. Also war es ganz natürlich, daß wieder einmal im modernen Antiquariat ein Buch für mich bereitlag:

DUDEN – Rechnen und Mathematik

Beim Durchblättern sprang mir sofort das Stichwort „Primzahlen“ in die Augen. Primzahlen sind bekanntlich Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.

Da gibt es die Menge der natürlichen Zahlen: 1,2,3,4,5,6,7,…, ein Ende ist nicht absehbar. Nun läßt sich die Menge der natürlichen Zahlen ebenfalls durch Iteration erzeugen:

xn+1 = xn + 1

So formuliert, müßte man eigentlich erwarten, daß sich alle Elemente der Menge der natürlichen Zahlen gleich verhalten, daß alle Elemente dieser Menge über dieselben Systemeigenschaften verfügen. Aber die Natur macht da nicht mit. Ein Teil der so erzeugten Zahlen läßt sich nicht einfach teilen, ohne daran zu „zerbrechen“. Und das sind die Primzahlen.

Merkwürdigerweise sind die Primzahlen nicht willkürlich oder zufällig über die Menge der natürlichen Zahlen verteilt. Man findet sehr viele Paare von Primzahlen, die nur den Abstand 2 haben, z.B.

(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), …, (1871,1873), …, (2969,2971), (3359,3361), ….

Ferner scheinen die Primzahlen einer Art Rhythmus zu unterliegen, zumindest deutet die Tabelle der Primzahlen von 1200 bis 4500 darauf hin. Augenfällig wird dies alles aber erst, wenn man die Tabelle auf den Kopf stellt und die Zahlenkolonnen als Balkendiagramm betrachtet. Erst dann erkennt man nämlich, daß das System tatsächlich schwingt.

Die Zahlen zwischen den Primzahlen sind ihrerseits Vielfache der ersten Primzahlen 1, 2, 3, 5 und 7. Und nur in diesem Bereich ist es Mathematikern überhaupt möglich, „exakt“ zu arbeiten. Primzahlen werden in der Mathematik genauso behandelt wie die Quadratwurzel von 2: Man kappt die unendlich vielen Stellen hinter dem Komma willkürlich und erklärt das so „gekürzte“ Ergebnis für „exakt“. – Genau das ist dasselbe Verfahren, das Prokrustes seinen Gästen hat angedeihen lassen.

Wie die Anzahl der rechtwinkligen Dreiecke ist die Anzahl der Primzahlen prinzipiell unendlich. Daher werden in diesem Bereich die Mathematiker immer wieder mit der fraktalen Natur der Mathematik konfrontiert werden.

Tippen Sie in Ihrem Taschenrechner einfach so aus Spaß einmal 1 : 3 ein. In der Anzeige werden Sie folgendes Ergebnis finden: 0,333333. Sie können unendlich vielen Dreien dahinterpacken, ohne jemals ein Ende zu erreichen. Das ist nicht weiter schlimm. – Wir alle haben im Rechenunterricht der Grundschule gelernt, daß man, hat man beim Rechnen ein Ergebnis gefunden, die „Probe“ machen soll; – erst die „Probe“ zeigt dem Rechner, daß sein Ergebnis „richtig“ ist, er sich also nicht verrechnet hat. – Einfach nur so zum Spaß: Stellen Sie Ihren Taschenrechner auf die Probe. Tippen Sie 0,333333 x 3 ein. Drei mal ein Drittel ist Eins. 3 x 0,333333 ist aber laut Taschenrechner noch lange nicht Eins. In der Anzeige erscheinen eine Null, ein Komma und ansonsten nur Neunen. Auch hinter die im Display angezeigten Neunen können Sie so viele 99999999999999 dahinterpacken, wie Sie es für richtig halten; Sie können es sich für den Rest Ihres Lebens zur Aufgabe machen, so viele Neunen hinter das Komma zu schreiben, bis Sie die Eins erreicht haben. – Selbst Ihre Enkel oder Urenkel werden es nicht schaffen, auf diesem Weg die Zahl 1 zu erreichen.

In diesem Fall machen es die Mathematiker wie Prokrustes: Sie „expandieren“ den Wert 0, 99999999999999…. auf den ganzzahligen Wert 1.

All das wäre ja nicht weiter schlimm; man könnte die minimalen Ungenauigkeiten der „exakten“ Mathematik als Schönheitsfehler der dieser Wissenschaft hinnehmen. – Waren da nicht zwei Dinge:

Eines der Hauptanwendungsgebiete der Mathematik ist die Astronomie. Sei Johannes Kepler kennt man genau die Bewegungen der Planeten um die Sonne. Kepler hat sie in drei Gesetzen zusammengefaßt. Uns interessiert hier nur das dritte Keplersche Gesetz. Danach verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten eines Planeten wie die Kuben ihrer mittleren Entfernung von der Sonne: Je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto geringer ist seine Umlaufgeschwindigkeit. Carl Sagen behauptet in „Unser Kosmos“:

…je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto langsamer bewegt er sich, wofür es ein genaues mathematisches Gesetz gibt: P2 = a3, wobei P die Umlaufszeit des Planeten um die Sonne in Jahren und a seine Entfernung von der Sonne in „astronomischen Einheiten“ bezeichnet. Eine astronomische Einheit entspricht der Entfernung der Erde von der Sonne.“

Es sind zwei versteckte Ausdrücke, die die Astronomie von einer exakten Wissenschaft zum Va-Banque-Spiel machen: „mittlere Entfernung“ und „astronomische Einheit“.

Die Bahnen der Planeten sind keine exakten Kreise, denn der Kreis hat nur einen Mittelpunkt. Die Planetenbahnen sind Ellipsen, diese haben zwei „Brennpunkte“ genannte „Mittelpunkte“. Im Jahreslauf gibt es nur vier Punkte im Raum, in denen ein Planet seine „mittlere Entfernung“ von der Sonne einnehmen kann. Wegen der Geschwindigkeit, mit der sich auch der langsamste Planet fortbewegt, ist die Zeit, die ein Planet in seiner „mittleren Entfernung“ von der Sonne verbringt, wahrscheinlich unmeßbar kurz. Die „mittlere Entfernung eines Planeten vom Zentralgestirn ist also nicht exakt meßbar. Damit ist sie ungenau; für 2 + 2 = 4 –Freaks folglich ein Greuel.

Die „astronomische Einheit“ ist per oben gegebener Definition per se ungenau. Verwendet man die „astronomische Einheit“ als Maßstab für die Entfernung anderer Planeten von der Sonne, bekommen 2 * 2 = 4 – Fans sofort einen Herzinfarkt. Die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 149 Millionen Kilometer. 149 Millionen Kilometer, – das sind 149 Billionen Millimeter. – Seit dem Vordringen des Menschen in den Nano–Bereich, in dem das Meter wegen seiner Grobschlächtigkeit keine Rolle mehr spielt, werden die Maßeinheiten der Astronomen immer verschwommener und verlassen in augenfälliger Weise den Bereich der „exakten“ Wissenschaften.

Kein GPS wird je in der Lage sein, die exakte Position der Erde im Verhältnis zur Sonne für einen Zeitpunkt X zu bestimmen. Denn GPS kann nicht einmal auf der Erde die genaue Position eines sich schnell bewegenden Objekts zum Zeitpunkt der Messung ermitteln. Trotz all der wundersamen Eigenschaften, die GPS angedichtet werden: Weder Olympioniken noch Pferdefreunde werden je ein GPS-gestütztes „Photofinish“ erleben.

Nach diesem Ausflug in alltägliche Gefilde kehren wir zu Carl Sagen und in den Weltraum zurück:

Jupiter z, B. ist fünf astronomische Einheiten von de Sonne entfernt. Somit ist a3 = 5 * 5 * 5 125. Das Quadrat von welcher Zahl kommt 125 nahe? Die Antwort lautet 11. Und in der Tat braucht Jupiter 11 Jahre für einen Umlauf um die Sonne. Das gleiche Gesetz gilt auch für andere Planeten sowie für Asteroiden und Kometen. (Sagan aaO, 74ff)

Das sieht alles wunderbar exakt und berechenbar aus. – ist es aber durchaus nicht. Um dem Gesetz Genüge zu tun, muß auch hier wieder einmal „gestreckt“ werden. Zwei potentielle Quellen für Rechenfehler.

Und mit der Frage, was passiert, wenn Fehler auf Fehler trifft, kommen wir zu dem zweiten Ding, das ich oben angesprochen hatte.

Die Mathematiker sind sich ihrer Fehlerquellen beim Runden und Messen durchaus bewußt. Sie unterscheiden sogar zwischen absoluten und relativen Fehlern. Ich will hier nicht näher auf die einzelnen Handlungsanweisungen für den Umgang mit Fehlern eingehen, vielmehr möchte ich Sie auf folgenden Satz aufmerksam machen, über den ich im DUDEN – Rechnen und Mathematik unter dem Stichwort „Fehlerrechnung“ gestolpert bin: „Daran erkennt man, wie sich ein zunächst kleiner relativer Fehler von 1% bzw. 0,3% bei Ersetzen von √2 durch einen Näherungswert durch Fehlerfortpflanzung so auswirken kann, daß sich sehr große Fehler ergeben.“ – An dieser Stelle begegnet uns nämlich ganz unerwartet ein Phänomen, das in der Chaos-Forschung als Schmetterlingseffekt Furore gemacht hatte: der Flügelschlag eines Schmetterlings in Japan kann über den USA einen Hurricane auslösen.

Wir können zum Abschluß also festhalten, daß die lineare Mathematik, die uns als exakte Wissenschaft verkauft wird, nur einen geringen Bruchteil einer Allumfassenden nichtlinearen, fraktalen Mathematik ist.

Der Raum von drei Seiten, den die fraktale Geometrie im DUDEN einnimmt, ist angesichts dessen eigentlich eine Unverschämtheit.

© Gerhard Altenhoff, 2003

1 von lat. frangere = brechen


E.T. und die Dampflok – ein unlösbares Problem der Wissenschaft

September 18, 2012

Wenige Jahre vor der Ankunft von E.T.  gehörten Anblicke wie die folgenden zum Alltag auf deutschen Schienen:  Die Jumbos kommen – BR 44 – YouTube.

Neben dem Komiker ALF gehört E.T. zu den beliebtesten Aliens in den Kinderstuben der Welt. – Und die Kinderzimmer dieser Welt sind die letzten Refugien der Dampflokomotiven. – In „freier Wildbahn“ sind diese „Dinosaurier der Schiene“  fast ausgerottet. – Im übrigen haben sie ihr Rückzugsgebiet neben den Kinderstuben nur noch in den Hobbykellern dieser Welt.

Was aber haben E.T. und Dampfloks mit der Wissenschaft zu tun?

Augenscheinlich gar nichts!

Portrait

E.T. startete von einem fernen Planeten in einem fernen Sternensystem. Laut Steven Spielbergs landeten die Aliens in Kalifornien. Was Spielberg verschwieg, ist die Tatsache, daß sie ihn auch wieder abholten. Dabei haben sie sich verflogen und landeten in der schwäbischen Provinz. Die Koordinaten des intergalaktischen Navigationssystems weisen auf Göppingen hin. – Göppingen, Göppingen  und die schwäbische Sparsamkeit waren den Aliens fremder als die kalifornische Lässigkeit. Also verließen sie den Ort so rasch wie möglich wieder. E.T., hatte sich bei der Zwischenlandung freilich in seinem jugendlichen Leichtsinn in eine Fabrikhalle der Firma MÄRKLIN verirrt, Er wurde einfach vergessen und blieb erneut auf der Erde zurück.

Wer sich in interstellaren Verkehrssystemen auskennt, ist naturgemäß daran interessiert, wie die endemische Population eines fernen Planeten – also die „einheimische Bevölkerung der Erde“ ihre Transportprobleme in den Griff kriegt.

Im Weltraum gibt es keine Schienen, also war die Rad-Schiene-Technik für E.T. von besonderem Interesse. – Faszniert war er vor allem von diesen bizarren schwarzen Maschinen mit den roten Rädern und den seitlich angebrachten Stangen, die sich hin- und herbewegten.

Zunächst unbemerkt verfolgte E.T. den Produktionsprozeß. Wie der Zufall es so wollte,wurde E.T. Zeuge der Herstellung einer Lokomotive der Baureihe 44. Auf Erden eine schwere Güterzuglokomotive mit einer Vorlauf- und fünf Treibachsen.

Mit 47 Jahren noch ein schönes Model

Dampflok mit Elektroantieb

Die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter setzten Achsen, Zahn- und Speichenräder in zwei Zinkgußteile ein und schraubten diese aneinander. Zwischen der dritten und vierten Treibachse entstand so ein Gelenk. Mit einer weiteren Schraube wurde die Vorlaufachse beweglich mit dem Chassis verbunden.

Mit für Aliens unbekannten Tricks, die der Erdenmensch „Feinmechanik“ nennt, wurden die Treibstangen mit den Rädern und zwei offensichtlich funktionslosen ovalen Anhängseln des Fahrgestells verbunden.

Und alles wird über die Zahnräder angetrieben, die man – wohl aus ästhetischen Gründen – hinter den Treibrädern versteckt.

Wie in jedem Betrieb gab und gibt es auch bei MÄRKLIN erfahrene und unerfahrene Mitarbeiterinnen und -arbeiter. Beim Anbau des Gestänges mußte E.T. miterleben, daß es ein Problem gab, das aber alsbald gelöst wurde:

„Muscht nur die Stange in die Zylinder schtecke“! – Und dann klappte es. E.T. blätterte in seinem „Intergalaktischen Wörterbuch“ und fand dort den Zylinder als „merkwürdige Kopfbedeckung der irdischen Spezies Mensch“ beschrieben.

Für E.T. machte das seine Beobachtungen immer merkwürdiger. – Zylinder nicht oben sondern an der Seite?

Es blieb freilich keine Zeit, sich weiter über den Zylinder Gedanken zu machen, denn die nächsten Schritte beim Bau einer Dampflok weckten Vertrauen in die universalen Gesetze des Antriebs: Strom.

Elektromagnetismus und Ohmsches Gesetz. – Überall im Universum daheim. Deswegen war für E.T. der Einbau von Motor und Umschaltrelais auch ein vertrauter Anblick. – Elektromotoren finden sich auch in jedem Raumschiff..

Am Ende stülpte man über das Fahrgestell ein bizarres schwarzes Gehäuse mit einer Art „Hasenohren“ an der Seite. – Allein, echte Hasenohren weisen nach oben und sind nicht längsseits am Körper befestigt. – „Merkwürdige Menschen!“ – dachte sich E.T.

Was die Gestalt der Dampflok anbelangt, geriet E.T. vollkommen in Verwirrung, als der Lok auch noch ein kastenförmiger Schwanz angehängt wurde, ein Schwanz, mit dem sich nicht einmal wedeln läßt. – Ein Schwanz ist zum Wedeln da, so steht es in den interstellaren Handbüchern für den Planeten Erde. Dieser aber hat Räder und folgt immer derselben Spur wie die Lokomotive.

Bei der Endabnahme der Lok war es E.T. schnell klar, wie eine Dampflok funktioniert, denn Elektrotechnik ist nicht nur global, sie ist universal: Die zur Fortbewegung nötige Energie wird Dampflokomotiven durch Skischleifer über Punktkontakte zugeführt, die sich zwischen den Fahrschienen befinden. Ein Überspannungsimpuls sorgt für das Wechseln der Fahrtrichtung.

E.T. wußte nun, was eine Lokomotive ist, aber ihm war noch ncht klar, wofür eine Lok, die mit so viel Liebe hergestellt wird, überhaupt da ist.

E.T.’s Streifzug durch die Produktionsstätten führte ihn auch an den Ort, wo die Produkte verpackt werden. Sein Blick fällt fast unwillkürlich auf eine „Anfangspackung“. – E.T. war schließlich, was die Eisenbahn anbelangt, Anfänger.

„Oh! – die Menschen müssen unheimlich viel Ahnung von Raumkrümmung haben!“ – dachte sich E.T., als er den Inhalt einer Anfangspackung unter die Lupe nahm. Eine kleine Lok, zwei Wagen und Schienen, die einen Kreis beschreiben. – Wenn die Lok sich in einer Richtung fortbewegt, gelangt sie an ihren Ausgangspunkt zurück, ohne daß sie die Fahrtrichtung wechseln muß. – Lokomotiven, so E.T.’s Schlußfolgerung, beschreiben einen Orbit. – Wie ein Raumschiff oder ein Mond um einen Planeten oder ein Planet um eine Sonne.

„Die Dampflok ist ein Orbiter um einen winzig kleines „schwarzes Loch“. – anders kann es nicht sein, weil ein Zweck in der durch und durch zweckbestimmten Welt des Menschen nicht erkennbar ist.“ – so jedenfalls stellte sich E.T. das Wesen einer Dampflokomotive vor.

In der Abteilung, in der Gleispläne entworfen werden, fand E.T. seine Vermutung bestätigt. Er stellte erstaunt fest, daß bei aller Verzerrung, Kreuz- und Querverbindung der Geleise, trotz aller Weichen und Brücken die Orbit- oder Kreislaufstruktur der Eisenbahn erhalten blieb. Die Gleispläne waren so durchdacht, daß ein Zug immer wieder seinen Ausgangspunkt erreichen konnte ohne die Fahrtrichtung zu wechseln. E.T begriff, weshalb die Dampflok zwischen der dritten und vierten Treibachse ein Gelenk hatte: Die Konstruktion war dem Erfordernis geschuldet, möglichst viel Eisenbahn auf kleiner Fläche unterzubringen und die engen Kurvenradien zu befahren.

Große Welt auf kleinen Schienen! – E.T. wird Eisenbahnfan.

Davon wiederum sind die MÄRKLIN-Mitarbeiter regelrecht begeistert. – Man hat ja nicht jeden Tag einen Alien zu Gast, der sich für die Firma und ihre Produkte interessiert. Aus diesem Grunde entschließt sich die Firmenleitung, E.T. Die Teilnahme an einer Dampfloksonderfahrt zu ermöglichen, damit er das „große Vorbild“ kennenlernt.

( Quelle: http://www.dampfsound.de/44db/44db-sound/44db-sound.html)

Wie gesagt – so getan.

Bevor E.T. auf die Reise geht, überzeugt er sich von der Leistungsfähigkeit der Dampfloks zunächst im Internet. – „Ach,du liebe Galaxis! – Was ist das denn? – Die Dinger machen ja einen Krach wie ein UFO beim Start!“:

Die Jumbos kommen – BR 44 – YouTube.

E.T. bekommt große Augen, als er zum ersten mal eine Dampflok sieht, die nicht in Göppingen gefertigt wurde. – Das „Ding aus einer anderen Welt“ kann er auf einmal mit allen fünf Sinnen erfassen: Er kann es nicht nur sehen, er hört und riecht es . – Und – sobald er Rußpartikel im den Mund bekommt, schmeckt er es auch . – Nur anfassen, das ist nicht unbedingt angesagt, denn das Ding ist heiß, verdammt heiß!

Und dann das Cockpit einer Dampflok– es ist mit seinen Rädern , Hebeln und Monometern verwirrender als die Kommandozentrale eines schnellen Raumkreuzers.

Sein Blick fällt auf den Schrecken aller Astonauten: „Feuer im Cockpit!“ ruft er laut und springt aus dem Führerstand.

E.T hat keine Zeit mehr zum Nachdenken, denn mit ohrenbetäubendem Zischen bläst das Sicherheitsventil überschüssigen Dampf in die Luft.- Verstört sucht E.T. Schutz unter der Lok.

Was er da sieht, nein, was er dort nicht sieht, stellt sein Weltbild vollkommen auf den Kopf:

Das kennt er nicht, das ist mit seiner interstellaren Dampfloktheorie nicht vereinbar. – Skischleifer fehlen! – Zwischen den Schienen gibt es keine Punktkontakte! – Und die gigantische Schraube zwischen der dritten und vierten Treibachse fehlt auch. – Wie soll das Ding mit seinen fünf Achsen die Kurve kriegen?

E.T. ist vollkommen durcheinander, er versteht die irdische Welt nicht mehr.: In der Rauchkammer fehlen Elektromotor und Umschaltrelais. Es gibt auch keine Zahnräder. Es gibt keine mechanische Verbindung zwischen dem Kesselinneren und den Rädern – Wie bewegt sich dieses „ Ding aus einer anderen Welt“ denn überhaupt?

Die Crew der Lok lockt E.T aus seinem Versteck, denn weder als Lokführer noch als Heizer möchte man einen Alien überfahren.

Sie entführen ihn erneut auf den Führerstand und erklären ihm die Funktionsweise der Lokomotive:

Mit dem Feuer im Cockpit wird Dampf erzeugt. Der Dampf wird in die Zylinder gepreßt, die sich im Innerern der merkwürdigen ovalen Anhängsel verbergen. Diese Zylinder bewegen die Treibstangen. Die Treibstangen sind mit Kuppelstangen verbunden, die so etwas wie einen „Treibsatz“ bilden. Sie setzen die mannshohen Räder in Bewegung und sorgen für den Vortrieb.

E.T. begreift: Alles ist anders! – Jetzt wird ihm auch die Bedeutung des kastenförmigen Schwanzes klar. – So eine Art Brennstoffzelle.

Der Lokführer erklärt ihm auch, daß die Eisenbahn ein Transportmittel ist, dazu bestimmt, weit voneinander entfernte Orte auf möglichst kurzem Weg miteinander zu verbinden. Paradebeispiel ist die „Union Pacific“, die Ost- und Westküste der Vereinigten Staaten im 19. Jahrhundert zusammenführte. – Eine ringförmige Anordnung der Streckenführung kommt nur in Ausnahmefällen (Berliner Ringbahn) vor.

Und nun kommt E.T. ins Nachdenken darüber, wie Dampflok und Schienenstrang existieren können, obwohl sie seiner Theorie widersprechen. – Oder ist seine Theorie von Dampflok und gekrümmter Schienenwelt falsch? Weil Dampfloks existieren, obwohl sie der Theorie widersprechen, kann eigentlich nur die Theorie falsch sein. – So die Schlußfolgerung des Außerirdischen.

Und damit wären wir bei der Wissenschaft und ihrem größten Problem angelangt, nämlich der Theorienbildung anhand von „Modellen“.

Eine MÄRKLIN – Dampflok ist ein Modell, das eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Vorbild hat, aber in seinem Verhalten fundamentale Unterschiede zeigt. Warum sollten wissenschaftliche „Modelle“ nicht das Schicksal der MÄRKLIN-Dampflok teilen?

„Modelle“ gibt es in allen wissenschaftlichen Disziplinen. – Wie bei der Eisenbahn ist eines der beliebtesten Modelle das „Kreislaufmodell“. Die Medizin verwendet es ebenso wie Biologie, Geologie, die Physik und die Wirtschaftswissenschaft. – Aber in der Natur gibt es keinen einzigen Prozeß, der jemals wieder an seinen Ausganspunkt zurückkehren würde, also einen vollkommenen „Kreis“ beschreibt. – Nicht einmal die Bahn des Mondes läuft in sich zurück, weil der Mond sich pro Jahr um rund 3 cm von der Erde entfernt. – Eine Abweichung von auch nur einem Tausendstel Millimeter pro Umlauf bedeutet eine einhundertprozentige Abweichung von der Kreisbahn:

Das Sonnensystem umläuft das Zentrum der Milchstraße und macht zugleich die Expansionsbewegung des Universums mit. – Auch die Erdbahn und die Bahnen der anderen Planeten laufen nicht in sich selbst zurück.

– Wieder einmal kann man nur die Modellbahn im Kreis laufen lassen, aber keinen natürlichen Vorgang. – Nicht einmal der Ursprung aller „Kreislaufmodelle“, nämlich der menschliche Blutkreislauf, läuft in sich selbst zurück. – Das Blut, das vom Herzen aus auf die Reise durch ein immer komlexer werdenes Röhrensystem geschickt wird, ist kein Zug auf der Schiene, sondern ein hochkomplexes Gemisch aus einer Nährlösung, Zellen und nichtzellulären komplexen Molekülen. – Es gibt keinen „Rückwärtsgang“; auf dem Weg sterben Zellen ab und neue kommen hinzu. – Das „Blut“, das am Ende seiner komplexen Reise wieder am Herzen ankommt, ist nicht mehr dasselbe „Blut“, das vom Herzen weggepumpt wurde. Ferner landet das Gemisch in einer anderen Herzkammer als der, von der es startete…

Ob Wasser oder Kohlendioxid, auch in der Atmosphäre finden „Kreisläufe“ nicht statt. Nehmen wir das Kohlendioxid: Es ist schwerer als Luft. Es kommt aus den Vulkanen, aber es kommt auch von oben aus der Stratosphäre. Methan, das ebenfalls von der Erde, aber auch von Organismen ausgegast wird, steigt nach oben. Methan ist ein Kohlenstoffatom im Wasserstoffballon und so leicht, daß es problemlos die Stratosphäre erreicht. Hier sprengt die Höhenstrahlung das Methanmolekül auseinander. Der Wasserstoff entweicht in den Weltraum, der Kohlenstoff verbindet sich mit dem vagabundierenden Sauerstoff ehemaliger Wassermoleküle zu Kohlendioxid. Durch den Einfluß der Höhenstrahlung entsteht auch das radioaktive Isotop des Kohlenstoffs, der als „C-14“ bekannt ist. Die Kohlendioxidmoleküle schweben langsam zum Erdboden und werden von den Organismen aufgesogen. Obwohl das radioaktive C-14 sehr selten ist, ist es doch so häufig, daß es noch nach rund 50.000 Jahren in den Überresten von Organismen nachweisbar ist.

Das „Kreislaufmodell“, das so viele Prozesse in der Welt darstellen soll, ist zur Beschreibung der Prozesse in dieser Welt dermaßen untauglich, daß man es unverzüglich aufgeben sollte.

Vor allem die berühmten „Kreisläufe“ des „Fressens und Gefressenwerdens“ und „von Werden und Vergehen“ sind alles andere als Kreisprozesse, die in sich selbst zurücklaufen:

Hasen fressen keine Hunde, Gras frißt keine Kühe. – Und Kühe fressen nicht einmal Gras, denn die Pflanzen, deren Halme sie abweiden, überleben den „erbarmungslosen“ Angriff der Weidetiere unbeschadet.

„Werden und Vergehen“ – auch hier kehrt die Natur nie an den Startpunkt zurück. – Sie und ich waren am Anfang des Lebens ein Einzeller. – Aber wir landen am Ende auf dem Friedhof und nicht erneut in einer Gebärmutter.

Der Sprachgebrauch leistet Mythen Vorschub und versperrt dabei gleichzeitig den Blick auf die Vorgänge, die tatsächlich und unabhängig von unseren Vorstellungen und Theorien über sie ablaufen.

Das allseits beliebte „Kreislaufmodell“ hat sich aber nicht nur in der Naturwissenschaft in unzulässiger Weise etabliert.

Besonderer Beliebtheit erfreut es nach wie vor in den – ach so wichtigen – „Wirtschaftswissenschaften“:

Wirtschaftskreislauf

Ähnlich wie es im Körper von Lebewesen einen Kreislauf des Blutes gibt, der sich ständig wiederholt, läßt sich auch die Wirtschaft durch einen Kreislauf wiedergeben. Ständig fließen Güterströme von den Produzenten zu den Konsumenten (Güterkreislauf), denen Gegenströme (Geldkreislauf) in entgegengesetzter Richtung entsprechen.

Die Haushalte fragen auf dem Markt Güter nach (Nachfrage), die dort von den Unternehmen angeboten werden. Zur Produktion der Güter benötigen die Unternehmen Produktionsfaktoren (z. B. Arbeit), die ihnen auf dem Faktormarkt von den Haushalten angeboten werden und in die Produktion als Realkosten (Kosten) eingehen. Damit ist der Güterkreislauf geschlossen. Die in diesem Kreislauf den Haushalten zugeleiteten Güter sind gleichsam ihr reales Einkommen für die von ihnen bereitgestellten Produktionsfaktoren. In ländlichen Gebieten werden gelegentlich immer noch Naturalien (z. B. Kartoffeln, Eier, Fleischwaren) als Gegenleistung für eine Arbeit (z. B. für eine ärztliche Dienstleistung) „gezahlt“. Allgemein üblich ist in der modernen Wirtschaft jedoch die Bezahlung in Geld. Für das Angebot der Haushalte an Faktorleistungen erhalten sie ein Geldeinkommen. Dieses Geld geben die Haushalte für den Kauf von Gütern aus; diese Ausgaben stellen wiederum die Erlöse (Umsatz) der Produzenten dar, die davon nun erneut Produktionsfaktoren nachfragen. Dieser Geldkreislauf ist (im Gegensatz zum Güterkreislauf) ein echter Kreislauf, weil (wie im menschlichen Körper das Blut) immer dasselbe Geld umläuft.

Das Schaubild zeigt einen einfachen Wirtschaftskreislauf, der aber das wesentliche des Wirtschaftprozesses (Produktion und Konsumtion) kennzeichnet. Es könnte erweitert und den komplizierten Erscheinungen in der Wirtschaft weiter angenähert werden, wenn beispielsweise das Sparen der Haushalte bei den Kreditinstituten und die daraus finanzierten Investitionen der Unternehmen, der Staat mit seinen Einnahmen (Steuern) und Ausgaben (Staatshaushaltsplan), die Einfuhr und Ausfuhr eines Landes (Zahlungsbilanz) und das Wirtschaftswachstum der Güterproduktion berücksichtigt würden. Die Idee des Wirtschaftskreislaufs stammt von dem französischen Gelehrten Francois Quesnay (1694-1774), der den Zusammenhang von Produktion und Konsum in seinem „Tableau econonomique“ darstellte und in Geldgrößen erfaßte. Er gilt wegen dieser Leistung als der Begründer der Volkswirtschaftslehre als Wissenschaft. Quesnay, selbst Arzt, stand dabei unter dem Eindruck des erstmals 1628 von dem Engländer William Harvey erkannten menschlichen Blutkreislaufs. ( Horst Günter, Jugendlexikon Wirtschaft, Reinbek 1981, S. 180ff)

Von Anbeginn der Welt an haben sich Organismen zur Erreichung bestimmter Ziele zur Organisationseinheiten zusammengeschlossen. Egal, wie man sie nennt: Rudel, Herde, Schar, Schwarm oder Staat. Manche von ihnen sind „arbeitsteilig“ organisiert. Obwohl Arbeitsteilung in der Natur gang und gäbe ist, gilt sie nach wie vor als „Privileg“ des Menschen. Die „Arbeitsteilung“ gilt sogar manchen als der Ursprung der Wirtschaft. Und so nimmt es auch nicht wunder, daß man sich über Herkunft und Funktion einer „Organisation“ streitet:

Wie in der Alltagssprache wird der Organisationsbegriff auch in der Wissenschaftssprache inhaltlich unterschiedlich verwendet. Es lassen sich v. a. 3 Grundauffassungen unterscheiden:

1. Organisation in institutionaler Begriffsauffassung wird als zielgerichtetes, offenes, sozio-technisches System bzw. soziales Gebilde aufgefaßt. Organisation ist ein Oberbegriff für Institutionen aller Art, wie z. B. Unternehmungen, Krankenhäuser. Die Unternehmung ist eine Organisation!

2. Der instrumentale Organisationsbegriff versteht unter Organisation die Gesamtheit aller generellen expliziten Regelungen zur Gestaltung von Aufbau- und Ablaufstrukturen des Betriebes. Er setzt die Struktur als ein System formaler Regeln mit der Organisation gleich. Die Unternehmung hat eine Organisation!

3. Der funktionale Organisationsbegriff beinhaltet das Organisieren. Er umfaßt die Strukturierung bzw. die Organisation als Tätigkeit. Es geht um die Gestaltungsfunktion der Führung. Die Unternehmung organisiert!

Im Rahmen der Organisationslehre wird insbesondere der zweite Begriff verwendet. Betriebe sind dabei der Intention nach rational gestaltete Gebilde und Prozesse die sich wie folgt beschreiben lassen:.

Unter der Aufbauorganisation wird die Festlegung des Gebildes „Betrieb“ nach den Merkmalen der Verrichtung und des Objekts verstanden. Dies betrifft die Gliederung des Betriebes in arbeitsteilige Einheiten (Spezialisierung) und hierarchische Elemente (Konfiguration) sowie ihrer Koordination.

Die Ablauforganisation ist durch die Festlegung der spezifischen Arbeitsteilung der Zeit und des Raums im Arbeitsprozeß gekennzeichnet. Sie strukturiert somit das prozessuale Geschehen und determiniert das in der Aufbauorganisation festgelegte Handeln weiter.

Bei der Aufbau- und Ablauforganisation handelt es sich um zwei Betrachtungsweisen des gleichen Gesamtproblems der Organisation nach verschiedenen Gesichtspunkten. Sie stehen dabei einem Wechselverhältnis zueinander, so daß in der konkreten Organisationsarbeit keine der beiden Betrachtungsseiten vernachlässigt werden kann.

Fred G. Becker, Organisationslehre, in Rolf Walter (Hrsg) – Wirtschaftswissenschaften – Eine Einführung, Paderborn, München,Wien, Zürich 1997 S. 334 ff

Der „Wirtschaftskreislauf“ ist nicht das einzige Modell der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, das bei näherem Hinsehen einer eingehenden Überprüfung nicht stadhält.

Der „Homo oeconomicus ‚Wirtschaftsmensch“ ist laut Wikipedia in der Wirtschaftswissenschaft das theoretische Modell eines Nutzenmaximierers zur Abstraktion und Erklärung elementarer wirtschaftlicher Zusammenhänge. – Er ist der „Marktteilnehmer“ des „Anlégerfernsehens“, der jederzeit über alle Informationen des Marktgeschehens verfügt und aufgrund seiner Kenntnisse rationale Entscheidungen trifft. – Er ist nicht das einzige „Menschenmodell:

Andere Modelle in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften sind beispielsweise der

Homo sociologicus (der Mensch als Resultante seiner sozialen Rollen nach Ralf Dahrendorf)

Homo politicus (der politisch tätige Mensch, siehe auch: Neue Politische Ökonomie)

Homo oecologicus (der Mensch als ökologisch handelndes Wesen)

Homo culturalis (starke Schnittmengen mit den Konzepten des Homo sociologicus und

Homo oecologicus)

Homo biologicus

Homo reciprocans (berücksichtigt das Verhalten anderer Akteure)

Homo laborans (der Mensch als arbeitendes Wesen)

Homo ludens (der Mensch als spielendes Wesen)

Homo cooperativus (der Mensch als Akteur innerhalb einer Gruppe von Menschen)

Homo socio-oeconomicus

Wahrscheinlich fahren alle diese „Modellmenschen“ wie die Modelleisenbahn irgendwie im Kreis herum, so wie es der „Homo oeconomicus“ von Geburt an tut:

In seiner grundlegenden Arbeit “Homo oeconomicus versus homo reciprocans” konnte Armin Falk das „Modell“ vom Menschen als “krasssem Egoisten” widerlegen. 

Güter „fließen“ vom Produzenten zum „Verbraucher“, aber sie fließen nicht wieder zu ihm zurück. Das „Geld“ wiederum ist nur ein Symbol für die „Werthaltigkeit“ anderer Tauschobjekte: Waren und Dienstleistungen. – Wie lange muß z. B. ein Kneipengast singen oder Gläser spülen, bis er seinen Deckel von 13,50 € „bezahlt hat? – Die Behauptung : „Dieser Geldkreislauf ist (im Gegensatz zum Güterkreislauf) ein echter Kreislauf, weil (wie im menschlichen Körper das Blut) immer dasselbe Geld umläuft.“ (siehe oben, Horst Günter aaO.) ist, wie wir oben gesehen haben, schlicht falsch, weil Blut eben nicht gleich Blut ist.

Das Herz ist also kein Modellbahner, der seinem Zug freie Fahrt gibt, es gleicht eher einem Croupier, der die Kugel in den Kessel wirft. – Auch diese Kugel beschreibt augenscheinlich eine Kreisbahn, bis sie in einem der Zahlenfächer hängenbleibt.

Der französische Mathematiker, Physiker und Philosoph Henri Pointcaré erkannte frühzeitig die Unvollständigkeit der Kreisbahn und deren „Schraubenform“, die so empfindlich gegenüber ihren Anfangsbedingungen ist, daß eine exakte Voraussage, welche Zahl bei dieser Runde des Roulettes gewinnt, exakt unmöglich ist:

„Es war angemessen, daß Poincaré als erster die Empfindlichkeit iterativer Systeme gegenüber ihren Anfangsbedingungen bemerkte. Als leidenschaftlicher Spieler hatte der große französische Mathematiker beobachtet, daß die winzigen Unterschiede in dem Schwung, den ein Croupier der Kugel im Rouletterad verleiht, unermeßlichen Einfluß darauf haben, in welches Fach die Kugel schließlich fallen wird. Der Ruf des Croupiers wird uns nun verständlich als der Ruf des Chaos, der Ordnung, des Wandels – und als der hallende Ruf des Ganzen: »Immer rundherum im Kreis, wie lange noch – wer weiß?«“ (John Briggs/David Peat, Die Entdekcung des Chaos, München 1993, S. 110f)

Und jetzt verlassen wir die Kreisbahnen, die keine sind und wenden uns anderen „Modellen“ zu:

„Organisation“ hat offenbar sehr viel mit „Organ“ zu tun. – Wir alle spüren im Straßenverkehr die „Macht der staatlichen Organe“ , die uns als „Polizei“ begegnen. – Daß man dem „Staat“ überhaupt „Organe“ zudiktiert, hängt wieder mit einem „Modell“ zusammen:

Ich darf wiederholen:

Wie in der Alltagssprache wird der Organisationsbegriff auch in der Wissenschaftssprache inhaltlich unterschiedlich verwendet. Es lassen sich v. a. 3 Grundauffassungen unterscheiden:

1. Organisation in institutionaler Begriffsauffassung wird als zielgerichtetes, offenes, sozio-technisches System bzw. soziales Gebilde aufgefaßt. Organisation ist ein Oberbegriff für Institutionen aller Art, wie z. B. Unternehmungen, Krankenhäuser. Die Unternehmung ist eine Organisation!

2. Der instrumentale Organisationsbegriff versteht unter Organisation die Gesamtheit aller generellen expliziten Regelungen zur Gestaltung von Aufbau- und Ablaufstrukturen des Betriebes. Er setzt die Struktur als ein System formaler Regeln mit der Organisation gleich. Die Unternehmung hat eine Organisation!

3. Der funktionale Organisationsbegriff beinhaltet das Organisieren. Er umfaßt die Strukturierung bzw. die Organisation als Tätigkeit. Es geht um die Gestaltungsfunktion der Führung. Die Unternehmung organisiert!

Im Rahmen der Organisationslehre wird insbesondere der zweite Begriff verwendet. Betriebe sind dabei der Intention nach rational gestaltete Gebilde und Prozesse die sich wie folgt beschreiben lassen:.

Unter der Aufbauorganisation wird die Festlegung des Gebildes „Betrieb“ nach den Merkmalen der Verrichtung und des Objekts verstanden. Dies betrifft die Gliederung des Betriebes in arbeitsteilige Einheiten (Spezialisierung) und hierarchische Elemente (Konfiguration) sowie ihrer Koordination.

Die Ablauforganisation ist durch die Festlegung der spezifischen Arbeitsteilung der Zeit und des Raums im Arbeitsprozeß gekennzeichnet. Sie strukturiert somit das prozessuale Geschehen und determiniert das in der Aufbauorganisation festgelegte Handeln weiter.

Bei der Aufbau- und Ablauforganisation handelt es sich um zwei Betrachtungsweisen des gleichen Gesamtproblems der Organisation nach verschiedenen Gesichtspunkten. Sie stehen dabei einem Wechselverhältnis zueinander, so daß in der konkreten Organisationsarbeit keine der beiden Betrachtungsseiten vernachlässigt werden kann“ (Fred G. Becker, s.o. AaO.))

Haben Sie aufmerksam glesen: „Die „Organisationslehre verwendet vor allem den zweiten Begriff: ein Unternehmen „hat eine Organisation“. – Ein Unternehmen hat die Organisation, weil es sie der Lehre nach zu haben hat. – Und weil die „Organisation“ etwas ist, das dem Unternehmer „gehört“ – unterliegt sie der Willkür des „Eigentümers“. – Jeder darf schließlich die Betriebsanleitung seines Autos „entsorgen“, wenn er meint, seinen Wagen bis ins Detail „beherrschen“ zu können.

Allein das Organisationsmodell Nr. 1 würde unsere Ökonomen und Politiker in Erklärungsnot bringen. – Wenn Unternehmen und „Staaten“ Organisationen sind, wo gibt es dann „oben“ und „unten“. – Die Hierarchien kommen ins Schleudern. Und man muß sich ernsthaft fragen, ob die, die sich als „Kopf“ eines Unternehmens betrachten, vielleicht am anderen Ende des Verdauungstrakts ihr einzig zulässiges Siedlungsgebiet haben.

Für die Organisation des „Staates“ ist das mittlerweile offensichtlich. „Der Staat und seine Organe“ gehen in Lösung über, wenn das liberale Wirtschafts- und Menschenbild sich als unzutreffend erweist.

Nicht nur die Ökononomie modelliert sich den Menschen, den sie zur Stützung ihrer Theorie braucht:

„…das Sozialwissenschaftliche Standardmodell (SSM), dominiert seit den zwanziger Jahren das intellektuelle Leben. Es entstand aus der Verbindung zweier Ideen aus Anthropologie und der Psychologie.

1. Wahrend Tiere strikt von ihren biologischen Gegebenheiten
gesteuert werden, wird das menschliche Verhalten von der Kultur,
einem autonomen System aus Symbolen und Werten, bestimmt.
Da sie frei von biologischen Zwängen sind, können Kulturen
willkürlich und ohne Einschränkung variieren.

2. Menschliche Säuglinge besitzen bei ihrer Geburt nichts weiter als
ein paar Reflexe und die Fähigkeit zu lernen. Das Lernen ist ein
Allzweckmechanismus, der in allen Wissensbereichen angewendet
wird. Kinder lernen ihre Kultur durch Unterweisung, Belohnung
und Bestrafung sowie durch Rollenmodelle.

Das SSM ist nicht nur die akademische Grundlage der Humanwissen­schaften, sondern gilt auch als die säkulare Ideologie unseres Zeitalters, als diejenige Haltung gegenüber dem Wesen des Menschen, die jede anständige Person einnehmen sollte. Von ihrer Alternative,die manchmal »biologischer Determinismus« genannt wird, wird behauptet, daß sie den Menschen starre Positionen in der soziopolitisch-ökonomischen Hier­archie zuweist und zahlreiche Greuel der letzten Jahrhunderte verschul­det hat — wie Sklaverei, Kolonialismus, Diskriminierung von Rassen und Völkergruppen, wirtschaftliche und soziale Kasten, erzwungene Sterilisierung, Sexismus und Genozid.Zwei der berühmtesten Begründer des SSM, die Anthropologin Margaret Mead und der Psychologe John B. Watson, hatten diese sozialen Schlußfolgerungen eindeutig im Sinn:

Wir werden zu der Folgerung gezwungen, daß die menschliche Natur außerordentlich formbar ist und auf verschiedene Kulturbe­dingungen entsprechend reagiert. … Die Anlagen, die wir einem Geschlecht als natürlich zuordnen, sind vielleicht nichts anderes als Abwandlungen eines allgemein menschlichen Temperaments, denen die Angehörigen jedes Geschlechtes durch Erziehung mehr oder weniger angenähert werden können. … Wollen wir unsere Kultur bereichern, müssen wir die ganze Skala menschlicher Möglichkeiten anerkennen und unsere soziale Strukturen weniger willkürlich gestalten, so daß sie allen menschlichen Fähigkeiten einen passenden Platz einräumen kann. [Mead 1970]

Geben Sie mir ein Dutzend gesunder Kinder, wohlgebildet, und meine eigene besondere Welt, in der ich sie erziehe! Ich garantiere Ihnen, daß ich blindlings eines davon auswähle und es zum Vertreter irgendeines Berufs erziehe, sei es Arzt, Richter, Künstler, Kaufmann, oder auch Bettler,Dieb,ohne Rücksicht auf seineTalente.Neigungen, Fähigkeiten, Anlagen, Rasse oder Vorfahren. [Watson 1930]*

Zumindest in den schönen Reden der gebildeten Welt hat das SSM auf der ganzen Linie gesiegt. Bei höflicher intellektueller Konversation und im soliden Journalismus wird jede allgemeine Aussage über menschliches Verhalten sorgfältig mit Losungsworten des SSM eingeleitet, mit denen sich der Sprecher von all jenen schändlichen Anhängern der Vererbungs­lehre distanziert – angefangen von den mittelalterlichen Königen bis hin zu Alfred Tetzlaff. (Steven Pinker, Der Sprachinstinkt, München 1998, S 455ff m.w. Nachweisen)

„Menschliche Säuglinge besitzen bei ihrer Geburt nichts weiter als ein paar Reflexe und die Fähigkeit zu lernen. Das Lernen ist ein Allzweckmechanismus, der in allen Wissensbereichen angewendet wird. Kinder lernen ihre Kultur durch Unterweisung, Belohnung und Bestrafung sowie durch Rollenmodelle.“ – Sagen Sie mal ehrlich, würden Sie als solch ein armseliges Wesen zur Welt kommen wollen? – Ich jedenfalls nicht!

In Chemie und Physik herrscht zur Zeit das von Niels Bohr entworfene Atommodell vor, das die Elektronen mit Planeten gleichsetzt, die die Sonne umkreisen. – Da mag etwas Wahres dransein, aber Elektronen verhalten sich nicht wie Planeten, denn sie können in Verbindungen von Atomen, Moleküle genannt, auch andere Atome umkreisen. – Etwa so, als könnten Erde, Jupiter und Saturn mal eben von der Sonne zu Alpha-Centauri überwechseln und wieder zur Sonne zurückkehren. – Daß das nicht geht, ist wohl sonnenklar.

In der Biologie gibt es eine Reihe von Modellorganismen, zu denen auch Mäuse und Ratten gehören – Man versucht, Dinge, die Mäusen und Ratten widerfahren möglöichst 1:1 auf Menschen zu überatrgen. – Dabei kann es zu gewaltigen Fehlschlüssen kommn:

Die Maus, die ich später „Speedy Ferrero“ getauft hatte, hatte zunächst einmal die Schachtel mit den Spülmaschinen-Tabs geplündert. – Essen sie mal einen Tab – dann kommt aber mit Blaulicht der Krankenwagen!

Und dann war da noch eine Sendung über Tierversuche, die so etwa 1971 oder 1972 ausgestrahlt worden war:

Man hatte Dutzende von Laborratten in enge Röhren gespertt und sie automatisch mit Zigarettenrauch begast. – Es war ein „Rauchautomat“, der rund ein Dutzend Zigaretten enthielt und ununterbrochen qualmte. – Ich nehme an, daß die Rauchdosis so gewählt war, daß die Tierchen gerade einmal dem sicheren Tod durch akute Rauchvergiftung entkommen konnten:

Ratten sind soziale Tiere, die gern zusammen sind und soziale Kontakte unterhalten. Ratten können sich aufgrund ihres Skelettaufbaus durh engste Röhren quetschen. Das heißt aber noch lange nicht, daß sie sich dort auch gerne aufhalten, vor allem nicht zwangsweise. Es sit nicht von der Hand zu weisen, daß Ratten unter der genannten „Laborgbedingung“ starkem Streß ausgesetz sind. – Ob Tabakrauch dazukommt oder nicht, Ratten, die in engen Röhren über längere Zeit gefangen sind, empfinden wohl ähnlich wie ein verschütteter Mensch. – Seit dieser Zeit gilt das Rauchen als „potentiell krebserregend“ – Was allerdings fehlte, war ein Kontrollversuch mit Ratten, die in ihren engen Röhren mit Kaffee oder Schnaps abgefüllt worden waren oder einfach nur in den engen Röhren ihr Dasein fristen mußten. – Ich möchte fast wetten, daß auch die entsprechenden Kontrollgruppen eine erhöhte Bereitschaft zur Entwicklung von Krebserkrankungen gezeigt hätten.

Wws für uns nichts Gutes bedeutet, weil wir in unserer urbanen Umwelt fast so leben wie die Laborratten.

Auf die nicht geringe Zahl der diversen Wetter- und Klimamodelle will ich an dieser Stelle nicht eingehen, das würde zu tief in die fraktale Geometrie und die Chaos-Theorie hineinführen und den Rahmen, den E.T. und die Dampflok setzen, unzulässigerweise sprengen

Ich hoffe, anhand der Beispiele gezeeigt zu haben, daß es nicht ungefährlich ist, sich ein Bild über die Wirklichkeit anhand von „Modellen“ zu machen. – Man kann verdammt danebenhauen und dieIllusion für die Wirklichkeit halten.

Die Zahl der die Wirklichkeit des Universums verzerrenden „Modelle“ ist überaus groß. Ich hoffe, die geeignete Auswahl getroffen zu haben um zu verdeutlichen, daß es nicht unproblematisch ist, die uns umgebenden physikalischen, chemischen und biologischen Phänomene zu erfassen und und zu erklären.

Den Fehlschlüssen, die E.T. Bei der Untersuchung der Funktionsweise einer Dampflok unterlaufen sind, wäre E.T. Auch bei der Beurteilung von Dieselloks zum Opfer gefallen. – Keine der bei MÄRKLIN gefertigten Dieselloks kann mit Diesel betrieben werden.

Modelle können durchaus geeignet sein, das Verhalten und die Funktionsweise der verschiedensten Dinge zu studieren. So testet man beispielsweise anhand von maßstabsgetreuen Modellen das aerodynamische Verhalten von Flugzeugen im Windkanal. – Auch Schiffsmodelle helfen Ingenieren bei der Konstruktion immer größerer Passagier- und Frachtschiffe.

In dem Film „Flug des Phoenix“ wurde der Unterschied zwischen „Modell“ und Modell“ deutlich herausgestellt. Hardy Krüger spielte den Konstrukteur von Modellflugzeugen, der sich bemühte, aus den Trümmern einer abgstürzten Maschine ein flugfähiges Gerät zu basteln. – Der von James Stewart dargestellte Kapitän des Flugzeuges war geschockt, als er erfuhr, daß sein ehemaliger Passagier „Modellflugzeuge“ konstruiert hatte. Er mußte sich anhören, daß „Modellflugzeuge“ und „Flugzeugmodelle“ sich grundlegend voneinander unterscheiden. „Modellflugzeuge“ müssen als Flugmaschinen sorgfältig durchdacht sein, weil sie keinen Piloten haben, der auf die Feinheiten der Flugbewegungen reagieren kann. Es ist keiner da, der Ungleichgewichte aerodynamisch „austrimmen“ könnte. – Das „Flugzeugmodell“ hingegen ist nur ein dreidimensionales „Abbild“ des Flugzeugs in einem beliebigen Maßstab. Am Ende obsiegen die Überlegungen des „Modellbauers“: http://www.youtube.com/watch?v=IACjOvyx5hs&feature=related und der „Phoenix“ hebt ab.

Der Flug des Phoenix, E.T. Und die Dampflok lehren uns also, daß die Verwendung von Modellen die Gefahr in sich birgt, von der Funktionsweise des Modells auf die Funktion des „Vorbilds“ zu schließen.

Nun muß ich doch noch ganz kurz auf die Chaos-Theorie, die Erforschung nichtlinearer dynamischer Systeme eingehen:

Nichtlinear-dynamische Systeme und die fraktlae Geometrie haben ein gemeinsames Kennzeichen: Die Selbstähnlichkeit auf allen Größenskalen:

Die Kerzenflamme verhält sich nicht anders als das flammende Inferno eine Waldbrandes.

Eine Welle in der Badewanne folgt denselben einfachen Gesetzen wie der Kawentsmann, der einem Luxusliner die Aufbauten zerschlägt.

Die Luftströmungen, mit denen Ihr Friseur einer Braut die Haare formt, unterscheiden sich nicht von denen, it denen en Hurricane dieselbe Frisur wieder durcheinanderwirbelt.

Und die Kräfte, die das flüssige Erndinnere an die Oberfläche treiben, sind dieselben, die Ihre Tomatensoße zum Überkochen bringen.

Es ändert sich die Größenskala, nich aber das Verhalten der Dinge.

Das Herz einer Maus verhälts sich wie das Herz eines Elefanten. Der Magen eines Mäusejungen verarbetet die Muttermilch in derselben Weise wie der Magen eines Menschenkindes: Alle machen aus Milch Frischkäse und Molke.

MÄRKLIN hingegen wird nie echte Dampflokomotiven herstellen, weil das von den Eisenbahningenieuren der „realen“ Welt verwendete Material sich nicht im Maßstab 1:87 verkleinern läßt. – Im Maßstab 1:87 würde die Wandstärke des Kessels einer Dampflok so gering sein, daß die Lok beim geringsten Windstoß davonfliegen würde. – Umgekehrt würde die maßstäbliche Vergrößerung des Gehäuses einer MÄRKLIN – Lok diese so schwer machen, daß sie sich aufgrund ihres Gewichts nicht von der Stelle bewegen könnte.

Was lehrt uns also die Problematik der „Modellbildung“?

Es läßt sich in wenigen Worten zusammenfassen:

Wenn man sich von der Welt ein Modell macht, muß man darauf achten, daß das Verhalten des Modells mit dem der übrigen Welt übereinstimmt – und umgekehrt.

Die „Selbstähnlichkeit“ des Verhaltens muß auf allen Größenskalen erhalten bleiben.

Vereinfacht, oder „modellhaft“ gesagt:

Ob man die „Kirche im Dorf läßt“, oder ob „mer dä Dom en Kölle losse“ ist keine Frage des Prinzips, sondern nur eine der Größenskala.

Nun kann E.T. Seine „Anfangspackung“ mit nach Hause nehmen und den Bewohnern seines Heimatplaneten das Wesen der Eisenbahn näherbringen.


Terra X – ZDF.de Das vergessene Element

Oktober 17, 2011

Terra X – ZDF.de.

Leider stellt die Terra-X-Redaktion die Sendereihe nach der 4. folge ein. Als gäbe es das „Fünfte Element“ nicht, nämlich das Leben.

Warum es das „fünfte Element“ ist?- Nun, der gute alte Empedokles ging von vier Elementen aus. Diese vier Elemente setzten sich in der Erzähltradition des christlichen Abendlands fort. – Feuer, Wasser, Luft und Erde – das sind die vier nichtlinear-thermodynamischen Phänomene,iide wir unmittelbar mit unseren Sinnen als gestaltende Prozesse wahrnehmen können. – Wobei wir mit der „Erde“ schon Schwierigkeiten haben, weil sie sich nur von Zeit zu Zeit zu Wort meldet. Das fünfte Element aber, das die Oberfläche des Planeten gestaltet wie kein anderes der anderen vier, nehmen wir als „Element“ gar nicht wahr:

das Leben:

Hier der Ausgangspunkt meiner Überlegungen zum „fünften Element“, die man eigentlich seit Jahren schon hätte nachlesen können, wenn man nur gewollt hätte:

Das fünfte Element

1859 landete Charles Darwin mit seinem Werk „Die Entstehung der Arten durch natürliche Zuchtwahl“ einen Volltreffer. Er wirbelte die gottgewollte Ordnung der Geschöpfe dermaßen durcheinander, daß der Kampf ums Dasein zwischen Evolutionisten und Kreationisten bis zum heutigen Tage fortdauert.

Allerdings sind Darwin und seine wissenschaftlichen Erben an dem erwähnten Theorienstreit nicht ganz unschuldig. Die Evolutionstheorie ist nämlich nicht ganz vollständig und – ich möchte es so ausdrücken – mit der falschen Rollenverteilung formuliert.

Ich werde Ihnen meinen Standpunkt in aller Ruhe darlegen, und das geht am besten bei einer guten Tasse Kaffee. Ich setze voraus, daß Sie eine Kaffemaschine besitzen; ich möchte Sie in die Küche begleiten, denn breits Ihre Kaffeemaschine weiß Erstaunliches über die Evolution zu berichten.

Wenn Sie Kaffee zubereiten, schütten Sie Wasser in den Tank und geben Kaffeemehl in den Filter. Sie werden feststellen, daß sich in Ihrem Filter ein kleiner Hügel gebildet hat. Das aber ist im Moment nicht so wichtig.

Wichtiger ist vielmehr, daß Sie sich anschicken, als Gesetzgeber zu fungieren. Wenn Sie die Kaffeemaschine nämlich einschalten, setzen Sie das

Ohmsche Gesetz

in Kraft.

Das Ohmsche Gesetz regelt bekanntlich die Beziehungen zwischen Spannung, Strom und Widerstand im geschlossenen Stromkreis. Das Ohmsche Gesetz beherrscht alle Stromkreise dieser Welt, eine Taschenlampe ebenso wie ein Auto; Ihre Kaffemaschine, auch die Hardware eines Computers. Das Ohmsche Gesetz regiert also alle mit elektrischem Strom betriebenen Geräte, aber nicht ein einziges davon ließe sich aus diesem Gesetz herleiten. Alle elektrischen Geräte sind Produkte menschlichen Erfindungsreichtums, die das Ohmsche Gesetz zuläßt. Das Internet gehört ebenso dazu wie der elektrische Stuhl.

Beleuchten wir unter diesem Aspekt Ihre Kaffeemaschine ein wenig genauer. Deren Hauptelement ist die Heizspirale, ein Widerstand. Ihr Sohn ist ein Physikfan, er hat ihre Kaffeemaschine mit Meßinstrumenten verbunden, jeweils eines für die Stromstärke und eines für die Spannung.

Leider hat Ihr Sohn vergessen, die Anzeigen mit Skalen und Maßeinheitenzu versehen. Wenn Sie nun Kaffee machen wollen, werden Sie feststellen, daß beim Einschalten sich die Stellung der Zeiger kurzfristig verändert.

Danach bewegen diese sich nicht mehr und alles sieht hübsch ordentlich aus. Sie bekommen zu allem Überfluß überraschend Besuch, der um eine Tasse Kaffee bittet. Ihr Besucher wird anhand der Meßinstrumente das technische Geschick Ihres Sohnes bewundern, nicht aber die Frage entscheiden können, ob die Maschine an oder aus ist. Zwischen Spannung und Strom besteht scheinbar ein Gleichgewicht, die Zeiger bewegen sich ja nicht. Sie hören aber das Brodeln des kochenden Wassers und spüren, daß sich in Ihrer Kaffemaschine ein ungeheuer dynamischer Vorgang abspielt.Daher wird es Zeit, die einzelnen Größen des Stromkreises näher zu betrachten. Spannung, Stromstärke und Widerstand. Lehrer und viele Autoren populärwissenschaftlicher Literatur erläutern die Wirkungsweise des Ohmschen Gesetzes gern anhand eines Wasserkreislaufs mit Umwälzpumpe als Spannungsquelle und Absperrhahn als Widerstand. Die Spannung entspricht dem von der Pumpe auf der einen Seite erzeugten Druck gegenüber dem am Ansaugstutzen vorhandenen Sog. Das Ventil bestimmt je nach Stellung die Durchflußgeschwindigkeit des Wassers. Die Verhältnisse sind in der Tat verblüffend ähnlich, denn dreht man hier das Ventil auf vollen Durchfluß auf, steht auf dem Ansaugstutzen der Pumpe plötzlich der volle Wasserdruck. Das hält keine Pumpe lange aus, sie versagt ihren Dienst. Ihre Aufgabe ist es nämlich, den am Ansaugstutzen vorhandenen Druck zu erhöhen. Daß sie den Druck, den sie selbst erzeugt, nicht bis ins Unendliche verstärken kann, versteht sich von selbst. Wenn Sie das Heizelement Ihrer Kaffeemschine mit einem Draht überbrücken, geschieht etwas Ähnliches, nur wird die Zerstörung der Spannungsquelle durch das Herausspringen der Sicherung verhindert.

Warum besteht diese Ähnlichkeit zwischen dem hier beschriebenen Wasserkreislauf und dem geschlossenen Stromkreis?

In der Natur gibt es keinen geschlossenen Stromkreis, und auch der natürliche Wasserkreislauf hat mit dem hier beschriebenen keine Ähnlichkeit.

Elektrizität ist aber ganz alltäglich, Blitz und Donner führen uns das immer wieder vor Augen. Fließendes Wasser und auch Gegenstände, die sich dem Fluß des Wassers entgegenstellen und ihm Widerstand leisten, ibt es ebenfalls reichlich. Wir kennen den reißenden Gebirgsbach in seinem schmalen Bett ebenso wie den gemächlich dahinfließenden weiten Strom, der an einer Stromschnelle wieder die spürbare Dynamik des Gebirgsbachs zurückzugewinnen scheint.

Der Wasserkreislauf der Erde ist natürlich erheblich komplexer als unser technischer Wasserkreislauf. Denn Wasser fließt nicht nur bergab. Es kennt auf Erden die drei Aggregatzustände fest (Eis), flüssig („Wasser“i.e.S.) und gasförmig (Dampf). Als Wasser und Eis folgt es bei seinem Fluß grundsätzlich der Schwerkraft. Als Dampf hingegen kann es in dieWolken aufsteigen..

Alles flüssige Wasser strebt den Ozeanen zu. Wenn es nicht vorher verdunstet, kann nichts das Wasser daran hindern, dieses Ziel zu erreichen.

Es kann durch diverse Widerstände nur aufgehalten werden. Welch verheerende Wirkungen es haben kann, wenn Wasser ungebremst fließt, lehren uns die Hochwasserkatastrophen der letzten Jahre. Kann es daher sein, daß Ohmsches Gesetz und sein Äquivalent für den geschlossenen Wasserkreislauf lediglich Sonderfälle eines allgemeinen Prinzips darstellen? – Es erscheint ausgeschlossen, daß das Ohmsche Gesetz erst Gültigkeit erlangte, nachdem Georg Simon Ohm es formuliert hatte. Es muß so alt sein wie die Welt, Ohm hat es nur sicht- und erfahrbar gemacht.

Ich hoffe, Ihr Kaffee ist inzwischen fertig. Bevor Sie ihn jetzt in Ihre Tasse schütten, wollen wir uns Ihrer Kaffeemaschine aus der Sicht des Wassers nähern. Ihre Kaffeemaschine kann definiert werden als Vorrichtung,die geeignet und bestimmt ist, das Wasser auf seinem natürlichen Weg inen Ozean aufzuhalten. Einer der Widerstände, die dem Wasser dabei begegnen, ist Ihr Kaffeefilter. Er läßt an seinem unteren Ende weniger Wasser durch als oben hineinfließen kann. Das ist auch gut so, denn Ihr Kaffee würde sonst allzu dünn, aber darauf kommt es hier nicht an. Wenn Sie den Abfluß des Filters verstopfen, wird der Widerstand zunächst unendlich hoch, es wird folgendes passieren: Der Wasserspiegel im Filter wird  ansteigen, bis er randvoll ist. Dann sinkt der Widerstand für das Wasser plötzlich auf Null. Die Folge ist eine mittlere Überschwemmung in Ihrer Küche. Chaos nennt man das. Nicht nur das Überlaufen bringt Chaos…

Wie es weitergeht? – Hier geht es weiter:

http://www.lulu.com/product/file-download/australopithecus-superbus—der-mensch-im-licht-nichtlinear-dynamischer-evolution/544454?productTrackingContext=search_results/search_shelf/center/1


Börsen-Talfahrt: Orakel von Delphi einmal anders

August 20, 2011

Börsen-Talfahrt: Dax-Anleger büßen bitter für Versagen der Politik – Nachrichten Geld – WELT ONLINE.

Als ich noch zur Schule ging, war die Welt noch in Ordnung. Die Mathematik war eine exakte Naturwissenschaft.

Auch heute noch verläßt sich alle Welt auf die exakten Voraussagen mathematischer Modelle; allen voran die Wirtschaft.

Aber exakte Voraussagen, die sind selbst in der Mathematik mehr als schwierig, vor allem, wenn es bei gegebenem Radius um den Umfang eines Kreises geht:

Procrustes und die Mathematik

– Das Märchen von der „exakten“ Naturwissenschaft –

Wer war Procrustes? – das werden sich die mit antiker Mythologie wenig vertrauten Leser fragen, – allerdings wird jeder Leser zunächst einmal darüber nachdenken, was die Hauptfigur einer griechischen Sage mit Mathematik zu tun haben mag:

 Procrustes ist eine Sagengestalt von besonderer Hinterhältigkeit und Brutalität. Er betrieb eine Herberge und bot vorüberziehenden Wanderern ein Nachtlager an. Der Gast bekam jeweils ein unpassendes Bett; der hochgewachsene bekam ein Bett, das zu kurz war, der kleinwüchsige eines, das zu lang war. In der Nacht kam Procrustes und tötete seine Gäste, indem er sie der Größe des Bettes anpaßte: die kleinen wurden gestreckt, bis sie lang genug waren, das Bett auszufüllen, den anderen kappte Procrustes die überstehenden Gliedmaßen. – Der moderne Mensch verfährt mit der Natur und auch mit seinen Mitmenschen häufig in ähnlicher Weise, was vermuten läßt, daß Mythen oft ewige Wahrheiten in sich bergen.

 Sollte der Mensch, und dieser Frage wird im folgenden nachgegangen werden, am Ende auch die Mathematik prokrustiert haben?

 Benoît B. Mandelbrot stellte im Jahre 1975 seine Idee von der „fraktalen Geometrie der Natur“ einer interessierten Öffentlichkeit vor. Er prägte das Kunstwort „Fraktal“1 zur Beschreibung von natürlich auftretenden Formen und Prozessen, die mit Hilfe der bekannten geometrischen Modelle bis dahin nicht beschrieben werden konnten. Er bewies anhand vieler Beispiele, daß sogenannte „Monsterkurven“ und ähnliche „pathologische“ Objekte, die einige Mathematiker Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts untersucht hatten, sich hervorragend eigneten, natürliche Formen wie Bäume, Lungengewebe, Federn, Felsen, Wolken oder Galaxien zu beschreiben. – All diese durchaus geometrisch anmutenden Objekte entziehen sich einer exakten Definition im Rahmen der klassischen, euklidschen Geometrie.

 Erzeugt werden mathematische Fraktale durch sogenannte Iteration. Das bedeutet die ständige Wiederholung einer Rechenoperation, wobei der Endwert der ersten Operation den Anfangswert der zweiten bildet, dessen Endwert wiederum ist der Anfangswert der dritten, und so weiter und so fort…

 Wesentliches Kennzeichen eines Fraktalen Objekts ist dessen Selbstähnlichkeit auf allen Größenskalen. Bricht man aus einem Blumenkohl ein Röschen heraus und betrachtet es etwas genauer, stellt man verblüfft fest, daß es dem ganzen Kohlkopf sehr ähnlich sieht – kleiner zwar, aber von ähnlicher Gestalt. Bricht man aus diesem ein weiteres Röschen heraus, bleibt die Ähnlichkeit zum ersten Röschen und zur Gesamtgestalt des Blumenkohls ebenfalls erhalten. Die Natur setzt diesem Verfahren beim Blumenkohl freilich eine untere Grenze; das aber ändert nicht den Grundsatz.

 Trotz derartiger alltäglicher Erfahrungswerte bleibt das Wesen der fraktalen Geometrie bis heute der breiten Öffentlichkeit verborgen; u.a. deshalb, weil die überwiegende Mehrzahl der Mathematiker und Physiker die Auseinandersetzung mit der fraktalen Geometrie und den nichtlinearen Phänomenen der Natur scheut. In den Lehrplänen der Schulen, aber auch in den Vorlesungsverzeichnissen vieler Hochschulen sucht man diese Themen meist vergeblich. Diese Institutionen verkaufen weiterhin den Lehrsatz des Phytagoras und den Satz des Thales als grundlegende Erfindungen menschlichen Geistes, obwohl gerade die tradierten Gesetze der Geometrie die Vermutung nahelegen, daß auch das rechtwinklige Dreieck ein Fraktal ist:

 Der Satz des Thales lautet:

 „Wenn bei einem Dreieck ABC die Ecke C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel;“ oder: „Im Halbkreis ist der Winkel immer ein rechter“; oder: „verbindet man die Endpunkte eines Durchmessers mit einem beliebigen Punkt der Peripherie des Kreises, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck.“

 Ohne Änderung der Aussage läßt sich der Satz des Thales aber auch so umformulieren:

 Dann und nur dann, wenn bei einem Dreieck ABC die durch A und B führende Gerade den Mittelpunkt eines Kreises schneidet und somit den doppelten Radius des Kreises bildet, hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.

 Da der doppelte Radius (2r) eines Kreises in Verbindung mit der Kreiszahl den Umfang eines Kreises angibt, ist die Behauptung gerechtfertigt, daß die Existenz des rechten Winkels davon abhängig ist, daß konstant ist.

 Zum Beweis dieser Behauptung muß man die Beziehungen der Eckpunkte, Strecken und Winkel eines Dreiecks im Kreis dynamisieren und als Bahnkurve (Orbit) darstellen:

 Es sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C auf dem Kreis mit dem Radius r. Die zugehörigen Winkel seien , und . Die Strecke AB sei c, die Strecke AC sei a, die Strecke CB sei b.

 Da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, existiert eine unbestimmbare Vielzahl von Dreiecken, für deren Winkel bei C gilt:

 0º < < 180º.

 Der Winkel hat 0º, wenn sich die Punkte A und B auf der Geraden, die durch C und den Mittelpunkt des Kreises führt, vereinen. Der Winkel hat 180º, wenn A, B und C in einem Punkt vereinigt sind. Läßt man nun die beiden Punkte A und B (vom Punkt A = B aus) sich auf der Kreislinie gegenläufig bewegen, also einen Orbit beschreiben, ergeben sich zwei auffällige Besonderheiten:

 Erreicht der Winkel 60º, ist das Dreieck gleichseitig, die Punkte A, B und C sind gleich weit voneinander entfernt, bezüglich der Winkel gilt:, die Verbindungsstrecken a, b und c sind exakt gleich lang:

 a = b = c

es gilt dann auch:

 a² = b² = c².

 Wenn die durch A und B führende Gerade den Mittelpunkt M des Kreises schneidet, entspricht deren Entfernung voneinander dem Durchmesser, also dem doppelten Radius (2r). An dieser Stelle der Bahnkurve ist es gleichgültig, welche Position C im Orbit hat. Bei C ist dann, aber auch nur dann, immer ein rechter Winkel zu finden. Das Verhältnis der Strecken a, b und c beträgt in dieser Position des Orbit

 a² + b² = c².

Das ist der Lehrsatz des Pythagoras. Aber nicht nur der Satz des Pythagoras, auch alle anderen mathematischen Winkelfunktionen (Sinus- Cosinus- und Tangensfunktionen) leiten sich aus den konstanten Seiten- und Winkelverhältnisses des rechtwinkligen Dreiecks ab. – Die mathematischen Beweise für den Satz des Thales, den Lehrsatz des Pythagoras und die Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind in jedem guten mathematischen Schulbuch verewigt. Sie brauchen an dieser Stelle nicht wiederholt zu werden.

Die Beschreibung des Dreiecks als Bahnkurve und die Tatsache, daß das Auftreten eines rechtwinkligen Dreiecks untrennbar an den Durchmesser des Kreises gebunden ist, lassen nur den Schluß zu, daß die gesamte Euklidsche Geometrie von der Konstanz der Kreiszahl abhängt. Würde diese auch nur an der denkbar entferntesten Stelle hinter dem Komma einmal abweichen, wäre der rechte Winkel kein rechter Winkel mehr.

 Die Beschreibung des Dreiecks als Orbit legt einen weiteren Schluß nahe: Das Dreieck und alle anderen geometrischen Figuren der klassischen Geometrie sind Fraktale. Das Hauptkennzeichen der fraktalen Geometrie besteht darin, daß die Analyse der einzelnen Teile mit Maßstäben unterschiedlicher Länge immer wieder dieselben Grundelemente offenbart. Dieses Verhalten nennt man Skaleninvarianz oder Selbstähnlichkeit.

 Soll es sich bei einem Dreieck um ein Fraktal handeln, müßte es selbstähnlich sein.

 Abgesehen davon, daß die Selbstähnlichkeit des Dreiecks auf allen Größenskalen von der klassischen, linearen Mathematik seit jeher beschrieben wird (1.), läßt sie sich auch unmittelbar aus dem Orbit, den die Punkte A, B und C beschreiben, ableiten (2.).

 In der klassichen Geometrie kann jedes beliebige Dreieck in zwei rechtwinklige zerlegt werden. Die Senkrechte, die vom Winkel aus auf die gegenüberliegende Gerade gefällt wird, teilt ein Dreieck in zwei andere, einander ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Man kann diese Operation auf allen Größenskalen fortsetzen, heraus kommt immer eine zunehmende Zahl rechtwinkliger Dreiecke. Das rechtwinklige Dreieck ist also skaleninvariant.

  1. Die Skaleninvarianz ergibt sich auch unmittelbar aus der Funktion des Kreises als Orbit. Die Senkrechte, die vom Winkel aus auf die Gerade gefällt wird, kreuzt diese rechtwinklig. Im Kreuzungspunkt bilden sich vier rechte Winkel, zu jedem dieser rechten Winkel gehört wiederum ein Schwarm von Kreisen und rechtwinkligen Dreiecken. Da der Kreis wegen selbst immer skaleninvariant ist, folgt daraus, daß sich dessen Skaleninvarianz auf das rechtwinklige Dreieck überträgt.

 Hinter der Aufteilung eines Dreiecks in eine unbestimmbare (unendliche) Zahl rechtwinkliger Dreiecke steht immer ein und dieselbe bestimmte Operation: Fälle die Senkrechte vom Winkel aus auf die Gerade!

 Wird die gleiche Operation wiederholt ausgeführt, wobei der Ausgabewert eines Zyklus dem nächsten als Eingangswert zugeführt wird, nennt die Mathematik diesen Vorgang Iteration.

 Iteration aber ist – wie eingangs dargelegt – eine der Säulen der fraktalen Geometrie, Die Rechenvorschrift (der Algorithmus) zur Erzeugung von immer mehr, aber immer kleiner werdenden rechtwinkligen Dreiecken lautet lapidar: Fälle die Senkrechte vom rechten Winkel auf die Hypothenuse!

 Wandelt man diese einfache Operation ein wenig ab, indem man vorschreibt: Fälle die Senkrechte vom Winkel aus auf dieGerade, zeichne sie als Strahl vom Winkel aus und ordne jedem der „offenen“ rechten Winkel im Kreuzungspunkt eine beliebige Hypothenuse zu, so wird bereits beim vierten Zyklus die Sache unübersichtlich. Die Gesamtzahl der Dreiecke explodiert regelrecht.

 Das rechtwinklige Dreieck erfüllt alle Merkmale, die ein Fraktal ausmachen: Selbstähnlichkeit und Erzeugbarkeit durch Iteration.

 Die Figuren der Euklidschen Geometrie sind folglich ebenfalls Fraktale. Sie unterscheiden sich von allen anderen Fraktalen lediglich dadurch, daß sie so einfach gestaltet und damit berechenbar sind. Die Berechenbarkeit der geometrischen Figuren, die das Universum der Euklidschen Geometrie bilden, hört freilich schon beim Kreis auf:

 Der englische Wissenschaftler Lewis Richardson fand auf die Frage: „Wie lang ist die Küstenlinie Englands?“ die verblüffende Antwort: „Das hängt vom verwendeten Maßstab ab.“ – Je kleiner der Maßstab, desto länger die Küstenlinie. Das trifft auch auf den Kreis zu, wenn man dessen Durchmesser und Umfang mißt. Rein theoretisch müßte sich dadurch errechnen lassen, daß man den gemessenen Umfang eines Kreises durch den gemessenen Durchmesser desselben dividiert. Da sich die kleinste Meßungenauigkeit auf das Rechenergebnis auswirkt, ist es praktisch undurchführbar, den Wert von meßtechnisch zu ermitteln. Das Ergebnis der Rechenoperation = gemessener Umfang geteilt durch gemessenen Durchmesser wird immer unscharf bleiben. Unscharf deshalb, weil das Ergebnis zufällig zutreffen kann; ob es zutrifft, kann aber nicht bewiesen werden, weil der exakte Wert von sich auf Dauer den Berechnungsversuchen entziehen wird.

 Die Unschärfe nimmt zu, wenn man versucht, durch Messung von Rauminhalt und Durchmesser einer Kugel zu exakt zu ermitteln.

 Der Kreis ist also nicht „die vollkommenste geometrische Figur“, als die er in der klassischen Mathematik angesehen wird, er ist vielmehr das einfachste Fraktal: Bewege Dich geradlinig in gleichbleibendem Abstand zu dem bestimmten Punkt M. – Heraus kommt immer ein Kreis. Der Kreis ist also durchaus linear definierbar, aber gekrümmt.

 Und was macht der Mensch? – Er macht den Kreis zu einem Objekt der euklidschen Geometie: um mit überhaupt rechnen zu können, schneidet er die praktisch unendliche Ziffernfolge dieser Zahl einfach ab. – Ein Verfahren, das dem des Procrustes aufs Haar gleicht.

 Der Kreis, das darf man in diesem Zusammenhang nicht vergessen, ist immer auch der Schnitt durch eine Kugel. Diese ist ebenfalls in höchstem Maße selbstähnlich, denn jeder Schnitt durch eine Kugel, gleichgültig in welcher Ebene der Kugel er stattfindet, ist ein Kreis. Die Kugel ist ein räumliches Fraktal und in allen drei Raumdimensionen vollkommen von determiniert.

 An dieser Nahtstelle triumphiert die Krümmung des Raumes ohnehin über die lineare Mathematik. Der augenfälligste Beleg hierfür sind Wasserwaage und Eisenbahnschienen. Obwohl beide kerzengerade sind, bilden sie entgegen der Voraussage der klassischen Mathematik in keinem feststellbaren Punkt der Erdoberfläche deren Tangente – sie liegen flach auf, obwohl sie die Erdoberfläche mathematisch nur in einem Punkt berühren dürften.

 Hier begegnen sich auch die durch bewirkte mathematische Unschärfe und die Heisenbergsche Unschärferelation der Quantenphysik, wonach Ort und Impuls eines Materieteilchens nicht gleichzeitig ermittelt werden können.

 Sowohl mathematische als auch physikalische Unschärfe wirken sich auf alle Berechnungen aus, die im Rahmen mathematischer und physikalischer Modelle über die Natur angestellt werden. Dennoch beharrt die überwiegende Mehrzahl der entsprechenden Fachleute auf der Richtigkeit ihrer Modellvorstellungen. Es spricht nichts dagegen, daß diese in Teilbereichen durchaus zutreffen, vielfach stößt man aber in diesem Bereich auf Hilfsannahmen und einschränkende Bedingungen. Beispielsweise werden in der Mechanik die unberechenbaren Faktoren Reibung und Wärme ausgeklammert (wegprokrustiert), um die Gesetze der Mechanik mit einfachen, linearen Gleichungen beschreiben zu können.

 Die Gesetze der Mechanik können voraussagen, welche Geschwindigkeit ein Fahrrad unter Vernachlässigung der Reibung idealerweise erreichen wird, wenn eine bestimmte Kraft auf die Pedale einwirkt. Ob aber jemals eine Kraft auf die Pedale einwirken wird, und – sollte sie einwirken – wie groß sie genau sein wird, geht aus den Gesetzen der Mechanik nicht hervor. Die Gesetze der Mechanik können auch nicht exakt sagen, wie dasselbe Fahrrad aussehen wird, wenn es seitlich von einem bestimmten PKW gerammt wird. – Auch dann nicht, wenn Aufprallgeschwindigkeit- und -winkel genau definiert sind.

 Ein weiteres Beispiel aus der Physik:

 Da Ohmsche Gesetz „regelt“ in einem geschlossenen Stromkreis die Beziehung zwischen Spannung (U), Strom (I) und Widerstand (R) nach dem Muster

 I = U/R.

 Der „Anwendungsbereich“ des Ohmschen Gesetzes ist jedoch sehr eng begrenzt. Es gilt nur für einen „geschlossenen Stromkreis“ mit Widerstand. Erstens versagt das Gesetz angesichts der Frage, ob eine Batterie voll oder leer ist, denn R = U/I. Sind die Pole einer Batterie unverbunden, ist I gleich Null Das Ohmsche Gesetz versagt auch im Falle eines Kurzschlusses, denn wenn der Wert des Widerstandes gleich Null ist, lautet die Berechnungsformel I =U/0. Die Division durch Null ist mathematisch nicht definiert, folglich ist eine exakte Voraussage in beiden Fällen nicht möglich. Dennoch weiß jeder, was bei einem Kurzschluß passiert. Die physikalische Berechenbarkeit dieses Teil der Natur setzt also auch beim Ohmschen Gesetz voraus, daß die Extreme abgeschnitten werden. Das Ohmsche Gesetz, so wichtig und zuverlässig es sein mag, taugt auch nicht viel angesichts der Frage, wann eine Glühbirne durchbrennen wird. Die „exakte“ Wissenschaft zieht sich hier auf eine „durchschnittliche Lebenserwartung“, also einen statistischen Wert zurück, zu dessen Berechnung auch die Zahl erforderlich ist, was wiederum die Angabe eines exakten Wertes aus den oben genannten Gründen unmöglich macht. Es läßt sich auch nicht exakt im voraus berechnen, ob beim Durchbrennen einer Glühbirne einfach das Licht ausgeht oder ob es in diesem Zusammenhang zu einem Kurzschluß kommt, der die Sicherung herausspringen läßt.

 Gerade anhand des Kurzschlusses, dem wir hier nun schon zum zweitenmal begegnen, läßt sich unschwer die Beziehung der fraktalen Geometrie zu den dynamischen Eigenschaften der Natur verdeutlichen. Was die Mathematik als Iteration bezeichnet, kennt die Physik als „positive“ Rückkopplung. Der Kurzschluß als positive Rückkopplungsschleife ist weniger bekannt als die akustische Rückkopplung: Sie entsteht zwischen Mikrofon, Verstärker und Lautsprecher: Das Eigenrauschen des Verstärkers wird vom Lautsprecher abgestrahlt und vom Mikrofon aufgefangen. Dieses Signal wiederum wird verstärkt wieder abgestrahlt, binnen Sekunden ertönt das bekannte ohrenbetäubende Pfeifen.

 Der Forschungszweig, der sich mit diesen und ähnlichen Phänomenen beschäftigt, ist dem Publikum unter dem Begriff „Chaosforschung“ bekannt geworden. Dabei ist das „Chaos“, das heillose Durcheinander nicht Forschungsgegenstand, sondern die nichtlinearen, also nicht mit ganzen Zahlen „exakt“ berechenbaren dynamischen Phänomene in der Natur. Diese lassen sich schlagwortartig mit den vier „Elementen“ der klassischen griechischen Naturphilosophie kennzeichnen: Feuer, Wasser, Luft und Erde.

 Ungeachtet dessen wird auch in Zukunft die traditionelle Mathematik von sich behaupten, eine „exakte“ Wissenschaft zu sein; die der klassischen Physik mit ihren aufgefächerten Einzeldisziplinen verpflichteten Physiker werden auch weiterhin ihre Wissenschaft als „exakt“ bezeichnen. Fraktale Geometrie und Chaosforschung werden bis auf weiteres die „Igitt“–Fächer der Naturwissenschaften bleiben.

 Am Ende bleibt festzuhalten: Das „Flaggschiff“ der Euklidschen Geometrie, das rechtwinklige Dreieck, ist im Meer der Fraktale versunken. Die Behauptung, es sei möglich, „exakte“ Naturwissenschaft zu betreiben, ist damit als Märchen entlarvt. Für den Menschen sind die Phänomene der Natur nur in den Fällen berechen- und damit vorhersagbar, wo diese selbst es zuläßt.

 Die von vielen Naturwissenschaftlern aufgestellte Behauptung, eines Tages die Natur nach dem Willen des Menschen umgestalten zu können, offenbart ihre geistige Nähe zu Herrn Procrustes.

 Und die Suche nach der sogenannten „Weltformel“, einer Formel, die die Welt vollständig und abschließend mathematisch genau beschreiben soll, wird auf ewig ein unerfüllbarer Wunschtraum bleiben. Diese „Weltformel“ stellt man sich nämlich als lineare Gleichung vor, man will schließlich die Welt berechenbar machen. Man macht die Rechnung allerdings ohne Thales und Pythagoras. – Und, last but not least, ohne

 die Natur.

-Ende des Zitats!

Aus den Unschärfen, die die exakte Mathematik bereithält, ergibt sich unschwer, daß die Prophezeihungen der Analysten und der Rating-Agenturen keinen größeren Wert haben als die Voraussagen der Pythia. – Man orakelt und vertraut darauf, daß das Orakel sich selbst erfülle.

1 von lat. frangere = brechen


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